连续性方程

在物理学里，连续性方程（英语：continuity equation）乃是描述守恒量传输行为的偏微分方程。由于在各自适当条件下，质量、能量、动量、电荷等等，都是守恒量，很多种传输行为都可以用连续性方程来描述。连续性方程乃是局域性的守恒定律方程。与全域性的守恒定律相比，这种守恒定律比较强版。在本条目内的所有关于连续性方程的范例都表达同样的点子──在任意区域内某种守恒量总量的改变，等于从边界进入或离去的数量；守恒量不能够增加或减少，只能够从某一个位置迁移到另外一个位置。每一种连续性方程都可以以积分形式表达（使用通量积分），描述任意有限区域内的守恒量；也可以以微分形式表达（使用散度算符），描述任意位置的守恒量。应用散度定理，可以从微分形式推导出积分形式，反之亦然。一般的连续性方程，其微分形式为其中， φ {displaystyle varphi } 是某物理量 q {displaystyle q} 的密度（物理量每单位体积）， f {displaystyle mathbf {f} } 是 q {displaystyle q} 的流量密度（物理量每单位面积每单位时间）的矢量函数（vector function）， s {displaystyle s} 是 q {displaystyle q} 的生成量每单位体积每单位时间。假若 s > 0 {displaystyle s>0} 则称 s {displaystyle s} 为“源点”；假若 s < 0 {displaystyle s<0} 则称 s {displaystyle s} 为“汇点”。假设 φ {displaystyle varphi } 是守恒量，不能够生成或湮灭（例如，电荷），则 s = 0 {displaystyle s=0} ，连续性方程变为从简单的“能量连续性方程”到复杂的纳维-斯托克斯方程，这方程可以用来表示任意连续性方程。这方程也是平流方程（advection equation）的推广。其它物理学里的方程，像电场的高斯定律或高斯重力定律（Gauss' law for gravity），都具有类似连续性方程的数学形式，但是通常不会称为连续性方程，因为 f {displaystyle mathbf {f} } 并不代表真实物理量的流动。根据散度定理，连续性方程可以写为等价的积分形式：其中， S {displaystyle mathbb {S} } 是包住体积 V {displaystyle mathbb {V} } 的任意固定（不随时间改变）闭曲面， Q {displaystyle Q} 是在体积 V {displaystyle mathbb {V} } 内的 q {displaystyle q} 总量， S = ∫ V s   d 3 r {displaystyle S=int _{mathbb {V} }s mathrm {d} ^{3}r} 是在积分体积 V {displaystyle mathbb {V} } 内源点与汇点的总生成量每单位时间， d a {displaystyle mathrm {d} mathbf {a} } 是微小面矢量积分元素。举一简例，假设 V {displaystyle mathbb {V} } 是台北101大楼， Q {displaystyle Q} 是在大楼内某时间的总人数， S {displaystyle mathbb {S} } 是由门口、墙壁、屋顶、地基等等，共同组成的曲面，则连续性方程表明，当人们进入大楼时（代表穿过曲面的内向通量），或当大楼里面的孕妇生产时（代表源点的 s > 0 {displaystyle s>0} ），在大楼里面的总人数会增加；而当人们离开大楼时（代表穿过曲面的外向通量），在大楼里面的总人数会减少。在电磁理论里，连续性方程可以视为一条经验定律，表达局域电荷守恒，或是从麦克斯韦方程组推导出的结果。“电荷连续性方程”表明，电荷密度 ρ {displaystyle rho } 的变率与电流密度 J {displaystyle mathbf {J} } 的散度，两者的代数和等于零：麦克斯韦-安培方程为其中， B {displaystyle mathbf {B} } 是磁场， E {displaystyle mathbf {E} } 是电场， μ 0 {displaystyle mu _{0}} 是磁常数， ϵ 0 {displaystyle epsilon _{0}} 是电常数。取散度于方程的两边，由于旋度的散度必是零，高斯定律的方程为将这方程代入，可以得到电流是电荷的流量。连续性方程可以这样论述：假若电荷从某微小体积元素移动出去（电流密度的散度是正值），则在那微小体积元素内的总电荷量会减少，电荷密度的变率是负值。从这解释可以察觉，连续性方程就是电荷守恒。四维电流密度定义为其中， α {displaystyle alpha } 标记哪一个时空坐标， c {displaystyle c} 是光速。电荷守恒可以简洁地表达为四维电流密度的散度，即连续性方程其中， ∂ α   = d e f   ( ∂ ∂ r 0 , ∂ ∂ r 1 , ∂ ∂ r 2 , ∂ ∂ r 3 ) = ( ∂ c ∂ t , ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ) {displaystyle partial _{alpha } {stackrel {def}{=}} left({frac {partial }{partial r^{0}}},{frac {partial }{partial r^{1}}},{frac {partial }{partial r^{2}}},{frac {partial }{partial r^{3}}}right)=left({frac {partial }{cpartial t}},{frac {partial }{partial x}},{frac {partial }{partial y}},{frac {partial }{partial z}}right)} 。在流体力学里，连续性方程表明，在任何稳定态过程中，质量进入物理系统的速率等于离开的速率。。连续性方程类比于电路学的基尔霍夫电流定律。“质量连续性方程”的微分形式为其中， ρ {displaystyle rho } 是流体质量密度， u {displaystyle mathbf {u} } 是流速矢量场，两者相乘后为质量通量。假设流体是不可压缩流，则密度 ρ {displaystyle rho } 是常数，质量连续性方程简化为体积连续性方程：这意味着，在所有位置，速度场的散度等于零；也就是说，局域的体积变率为零。在另一方面，纳维-斯托克斯方程是一个矢量连续性方程，描述动量守恒。根据能量守恒，能量只能够传输，不能够生成或湮灭，这导致“能量连续性方程”。这是在热力学定律（Laws of thermodynamics）外，又一种关于能量守恒的数学论述。以方程表达，其中， u {displaystyle u} 是能量密度（能量每单位体积）， q {displaystyle q} 是能量通量矢量（数值大小为传输的能量每单位截面面积每单位时间，方向为截面的法向方向）。根据傅里叶定律（Fourier's law），对于均匀传导介质，其中， k {displaystyle k} 是热导率， T {displaystyle T} 是温度函数。能量连续性方程又可写为在量子力学里，从概率守恒可以得到“概率连续性方程”。设定一个量子系统的波函数为 Ψ ( x , t ) {displaystyle Psi (x,t)} 。定义概率流 J {displaystyle mathbf {J} } 为其中， ℏ {displaystyle hbar } 是约化普朗克常数， m {displaystyle m} 是质量， Ψ ∗ {displaystyle Psi ^{*}} 是 Ψ {displaystyle Psi } 是共轭复数， Im ( ) {displaystyle {mbox{Im}}()} 是取括弧内项目的复值。概率流满足量子力学的连续方程：其中， ρ = | Ψ | 2 {displaystyle rho =|Psi |^{2}} 是概率密度。应用高斯公式，等价地以积分方程表示，其中， V {displaystyle mathbb {V} } 是任意三维区域， S {displaystyle mathbb {S} } 是 V {displaystyle mathbb {V} } 的边界曲面。这就是量子力学概率守恒定律的方程。方程 (1) 左边第一个体积积分项目（不包括对于时间的偏微分），即是测量粒子位置时，粒子在 V {displaystyle mathbb {V} } 内的概率。第二个曲面积分是概率流出 V {displaystyle mathbb {V} } 的通量。总之，方程 (1) 表明，粒子在三维区域 V {displaystyle mathbb {V} } 内的概率对于时间的微分，加上概率流出三维区域 V {displaystyle mathbb {V} } 的通量，两者的总和等于零。测量粒子在三维区域 V {displaystyle mathbb {V} } 内的概率 P {displaystyle P} 是概率对于时间的导数是假设 Ψ {displaystyle Psi } 的含时薛定谔方程为其中， U ( r ) {displaystyle U(mathbf {r} )} 是位势。将含时薛定谔方程代入方程 (2) ，可以得到应用一则矢量恒等式，可以得到这方程右手边第一个项目与第三个项目互相抵销，将抵销后的方程代入，将概率密度方程与概率流定义式代入，这相等式对于任意三维区域 V {displaystyle mathbb {V} } 都成立，所以，被积项目在任何位置都必须等于零：