波德图

波德图（英语：Bode plot，“Bode”的英文发音类似Boh-dee，荷兰文的发音则类似Bow-dah），又名伯德图、波特图，是线性非时变系统的传递函数对频率的半对数座标图，其横轴频率以对数尺度表示，利用波德图可以看出系统的频率响应。波德图一般是由二张图组合而成，一张幅频图表示频率响应增益的分贝值对频率的变化，另一张相频图则是频率响应的相位对频率的变化。

波德图可以用电脑软件（如MATLAB）或仪器绘制，也可以自行绘制。利用波德图可以看出在不同频率下，系统增益的大小及相位，也可以看出大小及相位随频率变化的趋势。

波德图的图形和系统的增益，极点、零点的个数及位置有关，只要知道相关的资料，配合简单的计算就可以画出近似的波德图，这是使用波德图的好处。

波德图是由贝尔实验室的荷兰裔科学家亨德里克·韦德·波德在1930年发明。波德用简单但准确的方法绘制增益及相位的图，因此他发明的图也就称为波德图。

波德图幅频图的频率用对数尺度表示，增益部分一般都用功率的分贝值来表示，也就是将增益取对数后再乘以20。由于增益用对数来表示，因此一传递函数乘以一常数，在波德增益图只需将图形的纵向移动即可，二传递函数的相乘，在波德幅频图就变成图形的相加。幅频图纵轴0分贝以下具有正增益裕度、属稳定区，反之属不稳定区：

波德图相频图的频率也用对数尺度表示，而相位部分的单位一般会使用度。配合波德相频图可以估算一信号进入系统后，输出信号及原始信号的比例关系及相位。例如一个sin(ω) 的信号进入系统后振幅变原来的倍，相位落后原信号Φ，则其输出信号则为( ) sin(ω − Φ)，其中的和Φ都是频率的函数。相频图纵轴-180度以上具有正相位裕度、属稳定区，反之属不稳定区

若将系统的增益以复数表示，则复数增益取对数后的虚部即为相位，因此二传递函数的相乘，在波德相位图上也是图形的相加。

以下考虑有一个极点的高通滤波器、如图2：

其中 是频率，₁是极点的位置，单位都是Hz。图中₁ = 100 Hz。此传输函数的绝对值为：

其相位为：

由于波德相位图的纵轴相位使用角度而不是弪度，需要使用对应角度的反正切函数。波德增益图的纵轴是转换函数的分贝，其数值如下：

如下图3是一个单一极点低通滤波器的波德图：

于图3中也有用直线近似的波德图，常在自行绘制波德图时使用，其原理会在后面的章节中说明。

波德图的增益和相位很难单独的变动、二者会互相牵扯，当调整系统的增益响应时，系统的相位响应也会随之变化，反之亦然。最小相位系统的增益和相位特性之间可以用希尔伯特转换来转换，因此知道其中一项即可求出另外一项。

若转换函数是有理函数，其零点及极点均为实数，则其波德图可以用几条渐近线的直线来近似，利用简单的规则即可以徒手绘制。若近似的波德图再修正每个截止频率时的增益值，则其近似值会更接近实际值。

波德图的前提就是可以处理以下型式函数的对数值：

上述函数的对数值可以转换为极点及零点对数的和：

在绘制波德相位图时直接使用了上述的概念。增益图的绘制时则是以此概念为基础，因为每个极点或零点其增益的对数均从0开始，而且其渐近线只有一个转折点，因此绘制时可以再作简化。

波德图增益分贝值一般都利用${\displaystyle 20{\log }_{10}<!--\; \; -->(X)}$是转换函数。

在处理无法分解的二次多项式${\displaystyle a{x}^2+bx+c}$_c（以Hz为单位）为

${\displaystyle f_{\mathrm{c}}=\frac{1}{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}RC}}$_OL远大于1时，闭环增益_FB可以用以下方式近似

在开环增益_OL远小于1时，闭环增益_FB可以用以下方式近似

增益_OL是频率的复变函数，有大小及相位。

上述的式子中，若β_OL乘积=−1时，可能会出现增益无穷大（即为不稳定）的情形。（若用大小和相位来表示，此时β的大小为1，相位为-180度，此条件即称为巴克豪森稳定性准则（英语：Barkhausen_stability_criterion）。配合波德图，不但可以判断系统是否稳定，也可以判断系统接近以上不稳定条件的程度。

在判断系统稳定性时，会用到以下二个频率。第一个频率₁₈₀是上述乘积相位恰为-180度的频率，第二个频率_0dB则为乘积的绝对值|β _OL|=1时的频率（若以分贝表示时，则为0dB）。频率₁₈₀可以用下式来计算：

其中| |表示复数的绝对值（例如|  +   | = 1/2）。而频率_0dB有以下的关系：

增益裕度（gain margin, GM）是衡量系统稳定程度的一种方法。在波德相位图上可以找到β_OL相位到达-180度时的频率，该频率即为₁₈₀，之后就可以在增益图上找到该频率时β_OL的大小。

若|β_OL|₁₈₀ > 1，表示此系统不稳定。若|β_OL|₁₈₀ < 1，此系统稳定，而|β_OL|分贝值和0dB（对应增益大小为1）的距离表示系统距离不稳定的程度，称为增益裕度。

增益裕度也可以用下式表示：

相位裕度（phase margin, PM）是另一种衡量系统稳定程度的方法。在波德增益图上可以找到|β_OL|大小为1的频率，该频率即为_0dB，之后就可以在相位图上找到该频率时β_OL的相位。

若β_OL( _0dB) 的相位 > −180°，表示在任何频率时系统都会稳定，因为在₁₈₀时大小已小于1，_0dB时的相位和-180度之间的差称为相位裕度。

若只是单纯要判断系统是否稳定，在系统为最小相位系统时，若以下的式子成立，则系统稳定：

若是非最小相位系统，需要用其他方式判断稳定性，如奈奎斯特图。

图8：放大器的波德增益图，其中有以分贝表示的闭环增益_FB及开环增益_OL，参数1/β = 58 dB，低频时_FB ≈ 58 dB，因为 | β_OL| = 1 出现的频率和_180°的频率非常接近，其增益裕度几乎为0。

图9：放大器的波德相位图，其中有以度表示的闭环相位_FB及开环相位_OL，因为相位到-180度的位置非常接近 = _0dB（即 | β_OL| = 1）的频率，因此相位裕度也很接近零度。

图8及图9可说明增益裕度及相位裕度在实际系统中的应用。图8是一个放大器的波德增益图，图中有绘出不考虑反馈的增益大小（开环增益）_OL及考虑反馈的增益大小（闭环增益）_FB。在负反馈放大器条目中有进一步的说明。

在此例中，低频的_OL = 100 dB，而1/β=58dB。低频时_FB的近似值也是58dB。

因为图中只绘出开环增益_OL，不是β _OL，因此判断_0dB的条件改为_OL = 1 / β。在低频时β_OL远大于1，_FB可近似为 1 /β，因此可以用_FB代替 1 /β，因此_FB及_OL相交的位置即为_0dB（后续在计算相位增益时需要频率_0dB）。

在_0dB附近，闭回路增益有很大的突波，因此该频率时β _OL可能很接近-1（若β _OL=-1，就会有无穷大的增益）。频率超过_0dB之后，_OL远小于1，因此_FB可近似为 _OL。

图9则是二种增益在相位上的比较，低频时闭环增益的相位接近0度，但在频率=₁₈₀时，开环增益的相位为-180度，而闭环增益突然下降到几乎-180度的位置。因开环增益相位为−180度，因此相位裕度为0度（-180度-(-180度)=0度）。（参阅简介）

根据图8及图9，可以看出此放大器的零分贝频率_0dB及相位反转频率₁₈₀非常接近：₁₈₀ ≈ _0dB ≈ 3.332 kHz，而3.332 kHz对应之开环增益为58dB（1/β = 58 dB），58db-58dB=0dB。因此增益裕度及相位裕度都非常接近零，此系统为临界稳定。

图10：放大器的波德增益图，其中有以分贝表示的闭环增益_FB及开环增益_OL，参数1/β = 77 dB，增益裕度为19 dB。

图11：放大器的波德相位图，其中有以度表示的闭环相位_FB及开环相位_OL，相位裕度为45度。

图10和图11是在较小反馈系数β（1 / β = 77 dB）时，同一系统的波德图，由于β较小，因此| β _OL | = 1出现在较低的频率，而低频时_FB也是近似1/β（77 dB）。

图10是波德增益图。1 / β及_OL的曲线在_0dB = 1 kHz时相交。在_0dB附近闭环增益_FB没有明显的突波。

图11是波德相位图。利用增益图上得到的_0dB = 1 kHz，对应的开环相位为−135度，因此相位裕度为正45度（-135度-(-180度)=45度）。（参阅简介）

图11和图9的函数只有反馈系数β不同，其开环的波德相位图均相同，因此图11的₁₈₀和图9相同，都是3.332 kHz。对应的开环增益为58dB，和1/β=77dB比较，增益裕度为19dB。而相位裕度为正45度，此为〈稳定系统〉。

在比较放大器的响应时，稳定性不是唯一的重点，在许多应用中良好的阶跃响应比稳定性更重要。依照经验法则，良好的阶跃响应需要至少45度的相位裕度，若将制造时元件参数偏差一并列入考虑，理想的相位裕度最好要超过70度。在阶跃响应条目有关相位裕度的段落中有更深入的说明。

波德分析仪（Bode plotter）是一种类似示波器的仪器，可以量测反馈控制系统或滤波器在各频率的增益及相位变化，绘制成波德图。右图即为一例，波德测试仪可以量测系统的截止频率、增益裕度及相位裕度，在分析或测试系统的稳定性时很有帮助。

波德分析仪的功能和网络分析仪（英语：Network analyzer (electrical)）一様，不过网络分析仪一般会用来分析相当高频时的系统特性。

在教育或研究的应用上，利用波德分析仪绘制特定传递函数的波德图也可助于了解该系统的特性。

奈奎斯特图和尼柯尔斯图都和波德图有关，这些图和波德图都是显示频率响应的资料，不过使用的座标系统不同。奈奎斯特图和尼柯尔斯图都是以频率为其参数的参数方程。奈奎斯特图将各频率的频率响应以极座标的方式绘出，因此各点距原点的距离是增益，各点相对原点的角度是相位。尼柯尔斯图即是将频率响应的增益(纵轴)及相位(横轴)均以线性刻度表示、用直角坐标系的方式绘出，其中增益使用对数尺度（${\displaystyle 20logA(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})}$）。

奈奎斯特图。

同一频率响应的尼柯尔斯图。