填充维度

数学中 ，填充维度是一种可用于定义度量空间中子集之维度的概念。某种程度上，填充维度和郝斯多夫维度是对偶的，因为填充维度是利用“填充”给定的子集来定义，而郝斯多夫维度是利用“覆盖”给定的子集来定义。填充维度C.Tricot Jr.在1982年引入。

设${\displaystyle (X,d)}$是度量空间且${\displaystyle S\subseteq <!--\; \subseteq \; -->X}$，那么对${\displaystyle s\ge <!--\; \ge \; -->0}$，定义${\displaystyle S}$的${\displaystyle s}$维的填充前测度（packing pre-measure）为

上式只是一个前测度，而非真正的测度，${\displaystyle S}$的${\displaystyle s}$维填充测度的定义是

即填充测度是其可数个覆盖的填充前测度和的最大下界。

如此一来，${\displaystyle S}$的填充维度定义为

以下示例是填充维度与郝斯多夫维度不相等最简单的情况。

${\displaystyle (a_n)}$考虑序列${\displaystyle (a_n)}$${\displaystyle (a_n)}$${\displaystyle (a_n)}$使得${\displaystyle a_0}$且。定义一系列的紧致集$E_0\supset <!--\; \supset \; -->E_1\supset <!--\; \supset \; -->E_2\supset <!--\; \supset \; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->$如下：

现在定义$K=\underset{n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}}{\bigcap <!--\; \bigcap \; -->}{E}_n$。可以证明

容易知道对给定的数${\displaystyle 0\le <!--\; \le \; -->d_1\le <!--\; \le \; -->d_2\le <!--\; \le \; -->1}$，我们可以取序列${\displaystyle (a_n)}$使得上面两个维度分别是$d_1,d_2$。