填充维度

✍ dations ◷ 2025-09-18 12:58:01 #度量几何,分形,维度论

数学中，填充维度是一种可用于定义度量空间中子集之维度的概念。某种程度上，填充维度和郝斯多夫维度是对偶的，因为填充维度是利用“填充”给定的子集来定义，而郝斯多夫维度是利用“覆盖”给定的子集来定义。填充维度C.Tricot Jr.在1982年引入。

设 $(X,d)$ $(X,d)$ 是度量空间且 $S\subseteq X$ $S\subseteq X$ ，那么对 $s\geq 0$ $s\geq 0$ ，定义 $S {\displaystyle S}$ $S$ 的 $s {\displaystyle s}$ $s$ 维的填充前测度（packing pre-measure）为

上式只是一个前测度，而非真正的测度， $S {\displaystyle S}$ $S$ 的 $s {\displaystyle s}$ $s$ 维填充测度的定义是

即填充测度是其可数个覆盖的填充前测度和的最大下界。

如此一来， $S {\displaystyle S}$ $S$ 的填充维度定义为

以下示例是填充维度与郝斯多夫维度不相等最简单的情况。

$(a_{n})$ $(a_{n})$ 考虑序列 $(a_{n})$ $(a_{n})$ $(a_{n})$ $(a_{n})$ $(a_{n})$ $(a_{n})$ 使得 $a_{0}$ $a_{0}$ 且 ${\textstyle 0<a_{n+1}<a_{n}/2}$ ${\textstyle 0<a_{n+1}<a_{n}/2}$ 。定义一系列的紧致集 ${\textstyle E_{0}\supset E_{1}\supset E_{2}\supset \cdots }$ ${\textstyle E_{0}\supset E_{1}\supset E_{2}\supset \cdots }$ 如下：

现在定义 ${\textstyle K=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }E_{n}}$ ${\textstyle K=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }E_{n}}$ 。可以证明

容易知道对给定的数 $0\leq d_{1}\leq d_{2}\leq 1$ $0\leq d_{1}\leq d_{2}\leq 1$ ，我们可以取序列 $(a_{n})$ $(a_{n})$ 使得上面两个维度分别是 ${\textstyle d_{1},d_{2}}$ ${\textstyle d_{1},d_{2}}$ 。

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