德拜-沃勒因子

德拜-沃勒因子（Debye–Waller factor，DWF），得名于彼得·德拜和伊瓦尔·沃勒（英语：Ivar Waller），在凝聚态物理学中描述的是X射线衍射中由热运动引起的衰减（英语：Attenuation）；又被称作B因子或者温度因子。兰姆-穆斯堡尔因子（英语：Lamb-Mössbauer factor）是德拜-沃勒因子在相干中子散射实验（英语：neutron scattering）和穆斯堡尔谱学中的一个推广。

在散射实验中，对于散射矢量 ${\displaystyle \mathbf{q}}$，${\displaystyle \text{DWF}(\mathbf{q})}$ 给出的是弹性散射（英语：elastic scattering）的比例；${\displaystyle 1-<!--\; -\; -->\text{DWF}(\mathbf{q})}$ 则是非弹性散射的比例。（严格来讲，这种概率诠释不是非常准确。）布拉格衍射实验中，弹性散射是出现布拉格峰的原因；而非弹性散射产生的是宽广的背景噪声，除非分析对象是散射粒子的能量（例如非弹性中子散射（英语：inelastic neutron scattering）或是电子能量损失谱），否则均被视为干扰。因此在一般的衍射实验中，只有弹性散射是有效信息。这也使得德拜-沃勒因子的计算在衍射实验中具有重要的意义。

在劳厄完成X射线衍射实验之前，学术界曾经对此实验的可行性进行过讨论。其中一种观点认为，在室温条件下，晶格中的原子由于热运动，是无法维持其在晶格中周期性排列的位置的，因此在实际的实验中不应该观测到任何的衍射峰（即布拉格峰）。

然而，随后劳厄和布拉格等人的X射线衍射实验证实了布拉格峰的存在。实验中，当晶体的温度上升时，布拉格峰的强度下降，但其宽度不变。 以下是德拜的描述：

对此实验现象，德拜给出了最初的理论解释。给结构因子 ${\displaystyle S(\mathbf{q})}$ 中表示原子位置的项 ${\displaystyle {\mathbf{R}}_j}$ 加上关于时间的微扰项 ${\displaystyle \mathbf{u}(t)}$，得到修正后的原子位置为 ${\displaystyle \mathbf{R}(t)={\mathbf{R}}_j+\mathbf{u}(t)}$。假设每个原子都相对各自的平衡位置独立地振动，则对修正后结构因子中的 ${\displaystyle f_j\exp <!--\; \; -->(-<!--\; -\; -->i\mathbf{q}\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathbf{R}}_j)}$ 一项变为：

修正项 ${\displaystyle ⟨\exp <!--\; \; -->\left(-<!--\; -\; -->i\mathbf{q}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{u}\right)⟩}$ 即为德拜-沃勒因子的最初来源。

德拜-沃勒因子的基本表达式为：

其中的 ${\displaystyle \mathbf{u}}$ 为热振动引起的位移，${\displaystyle ⟨...⟩}$ 表示热力学平均。

${\displaystyle ⟨\exp <!--\; \; -->\left(-<!--\; -\; -->i\mathbf{q}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{u}\right)⟩}$ 可被展开为

假设 ${\displaystyle \mathbf{u}}$ 在空间上具有各向同性，即${\displaystyle ⟨\mathbf{q}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{u}⟩=0}$，则

注意到上式的前两项与 ${\displaystyle \exp <!--\; \; -->(-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}⟨(\mathbf{q}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{u}{)}^2⟩)}$ 展开式的前两项是一致的。因此可用 ${\displaystyle \exp <!--\; \; -->(-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}⟨(\mathbf{q}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{u}{)}^2⟩)}$ 代换${\displaystyle ⟨\exp <!--\; \; -->\left(-<!--\; -\; -->i\mathbf{q}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{u}\right)⟩}$，代入开头的基本表达式：

即

${\displaystyle \text{DWF}=\exp <!--\; \; -->(-<!--\; -\; -->⟨(\mathbf{q}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{u}{)}^2⟩)}$

上式即为德拜-沃勒因子在教科书中常见的定义。值得注意的是上述推导都是在经典物理学的框架之下完成的；而在量子力学中，相同的结论依然成立。

进一步的推导可得

其中 ${\displaystyle q}$，${\displaystyle u}$ 为矢量 ${\displaystyle \mathbf{q}}$，${\displaystyle \mathbf{u}}$ 的大小。${\displaystyle ⟨<!--\; ⟨\; -->u^2⟩<!--\; ⟩\; -->}$ 叫做均方位移（英语：mean squared displacement）。若入射波的波长为 ${\displaystyle \mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}$，且被弹性散射了 ${\displaystyle 2\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}$ 角度，可用下式计算出 ${\displaystyle q}$ 的大小：

在对蛋白质结构的研究中，“B因子（B-factor）”这个名称更为常用，其定义为

单位为 Å2。B因子可被看作是结构中不同部分的相对振动。低B因子的原子从属于结构中良好有序（well ordered）的部分，而高B因子的原子一般属于结构中非常柔性易变（flexible）的部分。蛋白质资料库中的每一ATOM记录（PDB文件格式（英语：Protein Data Bank (file format)））都会包含某特定原子的B因子信息。