费马数

费马数是以数学家费马命名一组自然数，具有形式：

其中为非负整数。

若2 + 1是素数，可以得到必须是2的幂。（若 = ，其中1 < , < 且为奇数，则2 + 1 ≡ (2) + 1 ≡ (−1) + 1 ≡ 0(mod 2 + 1)，即2 + 1是2 + 1的约数。）也就是说，所有具有形式2 + 1的素数必然是费马数，这些素数称为费马素数。已知的费马素数只有₀至₄五个。

费马数满足以下的递回关系：

其中 ≥ 2。这些等式都可以用数学归纳法推出。从最后一个等式中，我们可以推出哥德巴赫定理：任何两个费马数都没有大于1的公因子。要推出这个，我们需要假设 0 ≤ < 且 和 有一个公因子 > 1。那么 能把

和都整除；则能整除它们相减的差。因为 > 1，这使得 = 2。造成矛盾。因为所有的费马数显然是奇数。作为一个推论，我们得到素数个数无穷的又一个证明。

其他性质：

最小的12个费马数为：

130,439,874,405,488,189,727,484,768,796,509,903,946,608,530,841,611,892,186,895,295,776,832,416,251,471,863,574,
140,227,977,573,104,895,898,783,928,842,923,844,831,149,032,913,798,729,088,601,617,946,094,119,449,010,595,906,
710,130,531,906,171,018,354,491,609,619,193,912,488,538,116,080,712,299,672,322,806,217,820,753,127,014,424,577

173,462,447,179,147,555,430,258,970,864,309,778,377,421,844,723,664,084,649,347,019,061,363,579,192,879,108,857,591,038,330,408,837,177,983,810,868,451,
546,421,940,712,978,306,134,189,864,280,826,014,542,758,708,589,243,873,685,563,973,118,948,869,399,158,545,506,611,147,420,216,132,557,017,260,564,139,
394,366,945,793,220,968,665,108,959,685,482,705,388,072,645,828,554,151,936,401,912,464,931,182,546,092,879,815,733,057,795,573,358,504,982,279,280,090,
942,872,567,591,518,912,118,622,751,714,319,229,788,100,979,251,036,035,496,917,279,912,663,527,358,783,236,647,193,154,777,091,427,745,377,038,294,
584,918,917,590,325,110,939,381,322,486,044,298,573,971,650,711,059,244,462,177,542,540,706,913,047,034,664,643,603,491,382,441,723,306,598,834,177

其中前八个来源于（OEIS中的数列A000215）。

只有最小的12个费马数被完全分解了。

1640年，费马提出了一个猜想，认为所有的费马数都是素数。这一猜想对最小的5个费马数成立，于是费马宣称他找到了表示素数的公式。然而，欧拉在1732年否定了这一猜想，他给出了分解式：

欧拉证明费马数的约数皆可表成2+1 + 1，之后卢卡斯证明费马数的约数皆可表成2+2 + 1。

设${\displaystyle F_n=2^{2^n}+1}$个费马数。如果不等于零，那么：

假设以下等式成立：

那么${\displaystyle 3^{F_n-<!--\; -\; -->1}\equiv <!--\; \equiv \; -->1(\mathrm{mod}{F}_n)}$，因此满足3k=1（mod${\displaystyle F_n}$）的最小整数k一定整除${\displaystyle F_n-<!--\; -\; -->1=2^{2^n}}$，它是2的幂。另一方面，k不能整除${\displaystyle \frac{F_n-<!--\; -\; -->1}{2}}$，因此它一定等于${\displaystyle F_n-<!--\; -\; -->1}$。特别地，存在至少${\displaystyle F_n-<!--\; -\; -->1}$个小于${\displaystyle F_n}$且与${\displaystyle F_n}$互素的数，这只能在${\displaystyle F_n}$是素数时才能发生。

假设${\displaystyle F_n}$是素数。根据欧拉准则，有：

其中${\displaystyle \left(\frac{3}{F_n}\right)}$是勒让德符号。利用重复平方，我们可以发现${\displaystyle 2^{2^n}\equiv <!--\; \equiv \; -->1(\mathrm{mod}3)}$，因此${\displaystyle F_n\equiv <!--\; \equiv \; -->2(\mathrm{mod}3)}$，以及${\displaystyle \left(\frac{F_n}{3}\right)=-<!--\; -\; -->1}$。因为${\displaystyle F_n\equiv <!--\; \equiv \; -->1(\mathrm{mod}4)}$，根据二次互反律，我们便可以得出结论${\displaystyle \left(\frac{3}{F_n}\right)=-<!--\; -\; -->1}$。