洛特卡-沃尔泰拉方程

✍ dations ◷ 2025-04-04 05:52:03 #生态学,应用数学,非线性常微分方程,极限环

洛特卡-沃尔泰拉方程(Lotka-Volterra equation)别称掠食者—猎物方程。是一个二元一阶非线性微分方程组成。经常用来描述生物系统中,掠食者与猎物进行互动时的动态模型,也就是两者族群规模的消长。此方程分别在1925年与1926年,由阿弗雷德·洛特卡与维多·沃尔泰拉独立发表。

以下将式子乘开,如此可以较容易地解释方程式的实际意义。

第一式所表达的是猎物族群的增值速度:

此模型假设猎物所接受的食物供给已经达到最极限,且除非遭遇掠食者的捕食,否则繁殖数量的增加以指数方式成长,其指数成长的情形,则以上述方程式中的 表现。此外并假设猎物遭遇捕食的比例,和猎物遭遇掠食者的机会成常数比,以上述方程式中的 表现。如果 或 其中一个为零,则皆有可能是没有捕食行为出现。

由上述的方程式可知:猎物族群规模的改变,源于本身受到捕食而产生的成长衰减。

第二式所表达的是掠食者族群的增值速度:

此方程式中的 表示掠食者族群的成长(可能会与掠食者与猎物的数量比例相似,但是掠食者与猎物的数量比例是以不同的常数表示,且不一定与族群的成长相等。) 表示掠食者的自然死亡,为指数衰减。

由上述的方程式可知:掠食者族群规模的改变,是猎食者族群的成长,减去其自然死亡的部分。

此方程式拥有周期性的解,但没有解析解。通过龙格-库塔法的数字计算之后,掠食者与猎物的族群大小变化可以表达成两个曲线图形。生态上的实际大致依照此简单模式,不过详细状况会有所出入。

在此模式系统中,当猎物数量充足的时候,掠食者的族群也会兴旺起来。不过掠食者的族群最后仍然会因为超过猎物所能供给的数量而开始衰减。当掠食者的族群族群缩减,则猎物族群将会再次增大。两者的族群大小便以周期性的成长与衰减进行循环。

族群的平衡会发生在族群大小不再变化的时候。例如:两条微分方程皆等于零的时候。

求解上述方程式的 与 可得:

以及

由此可知有两组解。

第一组解实际上是表示两个物种的灭绝,若是两个族群皆为零,则此状况将永久持续下去。第二组解表示一个不动点,意思是两个族群能够维持一个不为零的数量,并且在简单的模型中能够永久持续。系数 α, β, γ, 与 δ ,能够决定族群规模将在哪种情况下达成平衡状态。

不动点的稳定性可以利用偏导数,将其以线性化方式呈现。

产生的掠食者猎物模型之雅可比矩阵如下:

当数值为(0,0)稳定状态,则雅可比矩阵变成:

此矩阵的特征值为:

模型中的 与 永远比零大,且每一的特征值的符号永远不一样。由此可知位在原点的不动点是一个鞍点(saddle point)。

此不动点的稳定性相当重要,当处于稳定态的时候,非零的族群会趋向它。一些初始的族群可能会走向灭绝。然而当不动点位于原点时,也是一个鞍点,因此并不稳定。所以在此模型中,两个物种皆难以灭绝。除非以人为方式将猎物完全消灭,并使掠食者因饥荒而死亡。而若是将掠食者完全消灭,则猎物的族群增长情形,将会脱离此简单模型。

在第二不动点求 值可得:

此矩阵的特征值为:

当特征值皆为复数时,此不动点为一个焦点。实部为零使其成为一个中心。 这表示掠食者与猎物族群规模呈现循环消长,并且以此不动点为中心来回震荡。

d r d t = 2 r ( t ) α r ( t ) f ( t ) 1 + s r ( t ) {\displaystyle {\frac {dr}{dt}}=2*r(t)-{\frac {\alpha *r(t)*f(t)}{1+s*r(t)}}} ;

d f d t = f ( t ) + α r ( t ) f ( t ) 1 + s r ( t ) {\displaystyle {\frac {df}{dt}}=-f(t)+{\frac {\alpha *r(t)*f(t)}{1+s*r(t)}}}

图示当 α=0.01,s=0.001 时的饱和沃尔泰拉方程。

相关

  • 希腊语希腊语(Ελληνικά),中文也称希腊文,是一种印欧语系的语言,广泛用于希腊、阿尔巴尼亚、塞浦路斯等国,亦有使用于土耳其(包括小亚细亚一带)的某些地区。希腊语言元音发达,希腊人
  • 专业人员专业人士,通称专家、学者,即职场上的专门行业,指具备专业化知识及技能的职业人士。通常,专业技能须符合科学原理,经过长时间的学习及训练,并有经专业认证的考试获得的合格证书或执
  • 热内亚热那亚(意大利语:Genova,旧译柔鲁、热诺瓦)是意大利北部的港口城市,属于利古里亚大区,是该大区首府,并且是意大利第六大城市。热那亚是个历史很悠久的古城。早在古罗马建城之前,利古
  • 膨润土这是一个2006年的各国膨润土产量列表,主要基于2008年7月 英国地质调查局 的数据。
  • 热塑性塑料热塑性塑料(英语:thermoplastic,又译导热塑胶)指具有加热软化、冷却硬化特性的塑料。我们日常生活中使用的大部分塑料属于这个范畴。热塑性聚合物是一种聚合物,指具有加热后软化
  • 天之蕉子《天之蕉子》,2019年三立台湾台周五台湾好戏系列之第十三部曲,原剧名为《金蕉岁月》。剧本历时10个月完成,2019年2月20日开镜,3月9日正式开拍,8月8日全剧杀青。三立台湾台于2019
  • 西罗曼语支西罗曼语(英语:Western Romance languages)是罗曼语族下属的分类之一,和意大利-达尔马提亚语共同形成了意大利-西罗曼语支。西罗曼语言虽然和意大利-达尔马提亚语,但由于经过了拉
  • 希尔弗瑟姆坐标:52°14′N 5°11′E / 52.23°N 5.18°E / 52.23; 5.18希尔弗瑟姆( Hilversum 帮助·信息),北荷兰省中的一个城市和市镇,是霍伊地区('t Gooi)最大的城镇。它是兰斯塔德的一部
  • 煤炭工业部中华人民共和国煤炭工业部是中华人民共和国国务院已撤销的部门。其前身是1949年成立的燃料工业部,1955年撤销燃料工业部,设立煤炭工业部、石油工业部、化学工业部。1970年6月
  • 王羲之次子王凝之,字叔平,妻子为谢道韫。 三子王涣之,生卒不祥。 四子王肃之,字幼恭。 五子王徽之,字子猷。 六子王操之,字子重,曾做过东晋的侍中、尚书、豫章太守。 七子王献之,字子敬,人