洛特卡-沃尔泰拉方程

✍ dations ◷ 2025-04-03 17:57:28 #生态学,应用数学,非线性常微分方程,极限环

洛特卡-沃尔泰拉方程(Lotka-Volterra equation)别称掠食者—猎物方程。是一个二元一阶非线性微分方程组成。经常用来描述生物系统中,掠食者与猎物进行互动时的动态模型,也就是两者族群规模的消长。此方程分别在1925年与1926年,由阿弗雷德·洛特卡与维多·沃尔泰拉独立发表。

以下将式子乘开,如此可以较容易地解释方程式的实际意义。

第一式所表达的是猎物族群的增值速度:

此模型假设猎物所接受的食物供给已经达到最极限,且除非遭遇掠食者的捕食,否则繁殖数量的增加以指数方式成长,其指数成长的情形,则以上述方程式中的 表现。此外并假设猎物遭遇捕食的比例,和猎物遭遇掠食者的机会成常数比,以上述方程式中的 表现。如果 或 其中一个为零,则皆有可能是没有捕食行为出现。

由上述的方程式可知:猎物族群规模的改变,源于本身受到捕食而产生的成长衰减。

第二式所表达的是掠食者族群的增值速度:

此方程式中的 表示掠食者族群的成长(可能会与掠食者与猎物的数量比例相似,但是掠食者与猎物的数量比例是以不同的常数表示,且不一定与族群的成长相等。) 表示掠食者的自然死亡,为指数衰减。

由上述的方程式可知:掠食者族群规模的改变,是猎食者族群的成长,减去其自然死亡的部分。

此方程式拥有周期性的解,但没有解析解。通过龙格-库塔法的数字计算之后,掠食者与猎物的族群大小变化可以表达成两个曲线图形。生态上的实际大致依照此简单模式,不过详细状况会有所出入。

在此模式系统中,当猎物数量充足的时候,掠食者的族群也会兴旺起来。不过掠食者的族群最后仍然会因为超过猎物所能供给的数量而开始衰减。当掠食者的族群族群缩减,则猎物族群将会再次增大。两者的族群大小便以周期性的成长与衰减进行循环。

族群的平衡会发生在族群大小不再变化的时候。例如:两条微分方程皆等于零的时候。

求解上述方程式的 与 可得:

以及

由此可知有两组解。

第一组解实际上是表示两个物种的灭绝,若是两个族群皆为零,则此状况将永久持续下去。第二组解表示一个不动点,意思是两个族群能够维持一个不为零的数量,并且在简单的模型中能够永久持续。系数 α, β, γ, 与 δ ,能够决定族群规模将在哪种情况下达成平衡状态。

不动点的稳定性可以利用偏导数,将其以线性化方式呈现。

产生的掠食者猎物模型之雅可比矩阵如下:

当数值为(0,0)稳定状态,则雅可比矩阵变成:

此矩阵的特征值为:

模型中的 与 永远比零大,且每一的特征值的符号永远不一样。由此可知位在原点的不动点是一个鞍点(saddle point)。

此不动点的稳定性相当重要,当处于稳定态的时候,非零的族群会趋向它。一些初始的族群可能会走向灭绝。然而当不动点位于原点时,也是一个鞍点,因此并不稳定。所以在此模型中,两个物种皆难以灭绝。除非以人为方式将猎物完全消灭,并使掠食者因饥荒而死亡。而若是将掠食者完全消灭,则猎物的族群增长情形,将会脱离此简单模型。

在第二不动点求 值可得:

此矩阵的特征值为:

当特征值皆为复数时,此不动点为一个焦点。实部为零使其成为一个中心。 这表示掠食者与猎物族群规模呈现循环消长,并且以此不动点为中心来回震荡。

d r d t = 2 r ( t ) α r ( t ) f ( t ) 1 + s r ( t ) {\displaystyle {\frac {dr}{dt}}=2*r(t)-{\frac {\alpha *r(t)*f(t)}{1+s*r(t)}}} ;

d f d t = f ( t ) + α r ( t ) f ( t ) 1 + s r ( t ) {\displaystyle {\frac {df}{dt}}=-f(t)+{\frac {\alpha *r(t)*f(t)}{1+s*r(t)}}}

图示当 α=0.01,s=0.001 时的饱和沃尔泰拉方程。

相关

  • 三叉神经痛三叉神经痛(Trigeminal neuralgia,TN,或TGN)是一个严重的神经性慢性疼痛症,主要影响三叉神经(也称为第五对脑神经:由三个分支的神经将面部感觉传导到大脑,并且从大脑控制面部运动的
  • Na3s12,8,1蒸气压第一:495.8 kJ·mol−1 第二:4562 kJ·mol−1 第三:6910.3 kJ·mol−1 (主条目:钠的同位素钠是一种化学元素,元素符号为Na,原子序为11,相对原子量为23。它是柔软且
  • 碳沙文主义碳沙文主义(英语:Carbon chauvinism)是一个新词,其意涵为质疑目前基于碳的化学与热力学性质,认为外星生命皆由以碳为骨架的有机物构成的假说之真实性。“碳沙文主义”这个专有名
  • 胺类胺类(英语:amine)是氨分子(NH3)中的氢被烃基取代后形成的一类有机化合物,简称“胺”。不建议将“胺”(amine)写成“氨”(ammonia),两者意义与英文名称不同。氨基(-NH2、-NHR、-NR2)是胺的官
  • 张楚汉张楚汉(1933年10月11日-),中国水利水电工程专家。生于广东梅州梅县区。1957年毕业于清华大学水利工程系,1965年研究生毕业。清华大学水利水电工程系教授。2001年当选为中国科学院
  • 电子政务‎韩国电子政务,又称韩国电子政府是韩国政府机构通过网络技术将管理和服务在互联网上实现数字化的政务。电子政务是韩国提高行政效率和政府信息透明度,降低行政费用的重要手段。
  • 军事工业国防工业,亦称作军事工业,是由涉及军事装备及设备硏究、开发生产与服务的政府与商业产业组成,其中包括:亦可包括以下:国防工业大致可分为三个方面论述,其中包括武器产业链、武器自
  • 塞内卡语塞内卡语(自称Onödowága或Onötowáka)是塞内卡人的民族语。塞内卡语有不同的书写方式,这里所用的是塞内卡双语教学计划采用的正写法。塞内卡语有3个塞音: /t/、/k/和.mw-pars
  • 黄巢黄巢(835年-884年),曹州冤句(今山东菏泽西南)人,唐末时人。初为盐帮首领,售私盐为业,后成民变军首领,曾自立为帝,尊号为承天应运启圣睿文宣武皇帝,国号大齐,年号金统,史称黄巢之乱。黄巢退
  • 4f13 6s2 2, 8, 18, 31, 8, 2蒸气压 第一:596.7 kJ·mol−1 第二:1160 kJ·mol−1 主条目:铥的同位素 铥是一种化学元素,符号Tm,原子序数69,是一种金属。铥是第二稀少的镧系元素(