施图姆-刘维尔理论

✍ dations ◷ 2025-02-24 09:25:58 #微分方程

在数学及其应用中，以雅克·夏尔·弗朗索瓦·施图姆（1803–1855）和约瑟夫·刘维尔（1809–1882）的名字命名的施图姆-刘维尔方程是指二阶线性实微分方程：

其中函数 $p(x)$ ,]上，三个系数函数 $p(x),w(x),q(x)$ $p(x),w(x),q(x)$ 应满足以下性质：

只有一些恰当的 $\lambda$ $\lambda$ 能够使得方程拥有满足上述条件的非平凡解（非零解）。这些 $\lambda$ $\lambda$ 称为方程的特征值，对应的非平凡解称为特征函数，而特征函数的集合则称为特征函数族。史、刘二人在一些由边界条件确定的函数空间中，引入埃尔米特算子，形成了施图姆-刘维尔理论。这个理论提出了特征值的存在性和渐近性，以及特征函数族的正交完备性。这个理论在应用数学中十分重要，尤其是在使用分离变量法求解偏微分方程的时候。

施图姆-刘维尔理论提出：

只要乘以一个恰当的积分因子，所有二阶常微分方程都可以写成施图姆-刘维尔形式。

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