双蛋问题

✍ dations ◷ 2024-12-22 20:47:16 #物理学专题,物理科学,物理学实验

双蛋问题（The Two Eggs Problem）是一个经典的算法问题，它经常被描述为“给你两个相同的异常坚硬的鸡蛋，通过在一栋100层的楼的不同层扔下鸡蛋进行实验，试验出可以摔碎该鸡蛋的最高楼层（临界楼层）。已知未碎的鸡蛋可以重复使用。求最少的实验次数n,使得在n次实验后，一定能判断出该临界楼层。”

该问题可以扩展为这样一类问题：在N个鸡蛋，k层楼的条件下，找到一个最小的m，使得存在一种方案，在m次实验以后，一定能找到鸡蛋的临界楼层。

为了更加精确地思考问题，该问题中必须满足以下的条件：

此时，你有2个鸡蛋，楼高100层。我们可以先思考有1个鸡蛋和有无数个鸡蛋的情况。

此时，由于只有一个鸡蛋，所以一旦破碎，那么就无法继续进行试验，我们只能从第1层开始，一层一层地实验。在这种情况下最多需要99次实验。

容易的解决方案是二分法， $\log _{2}{100}\approx 6.644<7$ $\log _{2}{100}\approx 6.644<7$ ,所以如果我们有无数个鸡蛋，我们最多只需要7次就可以试验出。比如，先在64楼扔一次鸡蛋，如果碎了，那就到32层扔第二次，如果第二次扔鸡蛋又碎了，再到16层去扔第三次，如果这次没有碎，那你可以再到第24层去扔第四次，又没碎，那就去28层扔第五次，还是没有碎，再到30层扔第六次，这次又碎了，再到29层扔第七次，第七次碎了，那么临界楼层就是第28层，第七次没碎，临界楼层就是第29层。所以无数个鸡蛋最多只需要7次就可以实验。

借助于二分法提供的分组思想，我们可以尝试将100平均分成10组，用第一个鸡蛋在每组最后一层进行实验，这样可以实验出临界楼层在哪一组。然后再用第二个鸡蛋从该组第一层依次实验。这种方案的最坏情况是19次。

我们发现，如果19层是临界楼层，只需要实验11次，而如果临界层是99层，就需要实验19次。因此我们是否可以将19次平均到11次里一部分？为此，有以下方案，第一组 $x {\displaystyle x}$ $x$ 人，第二组 $(x-1)$ $(x-1)$ 人,第三组 $(x-2)$ $(x-2)$ 人,……第x组1人，考虑到 $x+(x-1)+(x-2)+\cdots +3+2+1={\frac {x(x+1)}{2}}>100$ $x+(x-1)+(x-2)+\cdots +3+2+1={\frac {x(x+1)}{2}}>100$ ，解得 $x>13.65$ $x>13.65$ ，所以 $x=14$ $x=14$ 时，最多需要14次便可以找出临界楼层。

下面是双蛋问题的几个推广问题。

类似于之前的方法，只需要 $x+(x-1)+(x-2)+\cdots +3+2+1={\frac {x(x+1)}{2}}>k$ $x+(x-1)+(x-2)+\cdots +3+2+1={\frac {x(x+1)}{2}}>k$ 即可，可以求出 $k=\left\lceil {\frac {-1+{\sqrt {1+8k}}}{2}}\right\rceil$ $k=\left\lceil {\frac {-1+{\sqrt {1+8k}}}{2}}\right\rceil$ （参见取整函数、高斯符号）

让我们定义一个函数 $f(d,n)$ $f(d,n)$ ,表示有 $n {\displaystyle n}$ $n$ 个鸡蛋，通过 $d {\displaystyle d}$ $d$ 次实验就一定能够判断出临界楼层的最大楼层。如果鸡蛋打破,我们将能够将临界楼层范围缩小到f(d−1,n−1)层；否则我们将能够把范围缩小到 f(d-1,n)层。

因此， $f(d,n)=1+f(d-1,n-1)+f(d-1,n)$ $f(d,n)=1+f(d-1,n-1)+f(d-1,n)$ 。这只是一个递归关系，而我们必须找到一个函数 f(d,n)。

因此,我们将定义一个辅助函数 $g(d,n):g(d,n)=f(d,n+1)-f(d,n)$ $g(d,n):g(d,n)=f(d,n+1)-f(d,n)$

根据我们的第一个方程

${\begin{aligned}g(d,n)&=f(d,n+1)-f(d,n)\\&=f(d-1,n+1)+f(d-1,n)+1-f(d-1,n)-f(d-1,n-1)-1\\&=+\\&=g(d-1,n)+g(d-1,n-1)\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}g(d,n)&=f(d,n+1)-f(d,n)\\&=f(d-1,n+1)+f(d-1,n)+1-f(d-1,n)-f(d-1,n-1)-1\\&=+\\&=g(d-1,n)+g(d-1,n-1)\end{aligned}}$ 函数 $g(d,n)$ $g(d,n)$ 可以写成 $g(d,n)={\binom {d}{n}}$ $g(d,n)={\binom {d}{n}}$ （参见二项式系数）

但是我们有一个问题：根据之前的关系 $f {\displaystyle f}$ $f$ 和 $g {\displaystyle g}$ $g$ ，对于任何 $n {\displaystyle n}$ $n$ ， $f(0,n)$ $f(0,n)$ 以及 $g(0,n)$ $g(0,n)$ 都是 $0 {\displaystyle 0}$ $0$ 。然而,在 $n=0$ $n=0$ 时会发生矛盾，因为 $g(0,0)={\binom {0}{0}}=1$ $g(0,0)={\binom {0}{0}}=1$ ，但对于每一个 $n {\displaystyle n}$ $n$ ， $g(0,n)$ $g(0,n)$ 应该是 $0 {\displaystyle 0}$ $0$ !

我们可以通过重定义 $g(d,n)$ $g(d,n)$ 修复这个问题如下：

$g(d,n)={\binom {d}{n+1}}$ $g(d,n)={\binom {d}{n+1}}$

递归是仍然有效。

现在，展开f(d,n),我们可以把它写成

${\begin{aligned}f(d,n)=&\\+&\\+&\cdots \\+&\\+&f(d,0).\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}f(d,n)=&\\+&\\+&\cdots \\+&\\+&f(d,0).\end{aligned}}$

我们知道 $f(d,0)=0$ $f(d,0)=0$ ,因此

$f(d,n)=g(d,n-1)+g(d,n-2)+\cdots +g(d,0)$ $f(d,n)=g(d,n-1)+g(d,n-2)+\cdots +g(d,0)$

我们也知道

$g(d,n)={\binom {d}{n+1}}$ $g(d,n)={\binom {d}{n+1}}$

因此，

$g(d,n-1)+g(d,n-2)+\cdots +g(d,0)={\binom {d}{n}}+{\binom {d}{n-1}}+\cdots +{\binom {d}{1}}$ $g(d,n-1)+g(d,n-2)+\cdots +g(d,0)={\binom {d}{n}}+{\binom {d}{n-1}}+\cdots +{\binom {d}{1}}$

最后，

$f(d,n)=\sum _{i=1}^{n}{\binom {d}{i}}$ $f(d,n)=\sum _{i=1}^{n}{\binom {d}{i}}$

我们知道 $f(d,n)$ $f(d,n)$ 是所有最少实验次数为 $d {\displaystyle d}$ $d$ 的总楼层数中最大的一个，我们只要找到一个 $k {\displaystyle k}$ $k$ 满足以下条件即可：

$f(d,n)\geqslant k$ $f(d,n)\geqslant k$

使用我们最后的公式,

$\sum _{i=1}^{n}{\binom {d}{i}}\geqslant k$ $\sum _{i=1}^{n}{\binom {d}{i}}\geqslant k$

让我们来试验一下:

$f(t,3)=\sum _{i=1}^{3}{\binom {d}{i}}={\frac {t(t^{2}+5)}{6}}$ $f(t,3)=\sum _{i=1}^{3}{\binom {d}{i}}={\frac {t(t^{2}+5)}{6}}$

因此有 $f(8,3)=92,f(9,3)=129$ $f(8,3)=92,f(9,3)=129$

所以我们如果有三个鸡蛋，可以保证在9次实验之内找到临界楼层。

除了解析法之外，最常见的方法是递归法。

想象以下情况：n个鸡蛋，k层楼，然后你把鸡蛋在连续的h层中的第i层进行试验。

如果鸡蛋打破：这个问题会减少为n-1鸡蛋和 i-1个剩余楼层的问题；如果不打破：这个问题会减少为n鸡蛋和h-i个剩余楼层的问题。现在我们可以定义一个函数 $W(n,h)$ $W(n,h)$ 计算所需的最小实验次数：

我们可以编写上述结果为确定找到下面的递归 $W(n,h)$ $W(n,h)$ :

以下代码由C++编写

$W(n,h)=1+min(max(W(n-1,i-1),W(n,h-i)))$ $W(n,h)=1+min(max(W(n-1,i-1),W(n,h-i)))$

#include <iostream>#include <iostream>#include <limits.h>using namespace std;//Compares 2 values and returns the bigger oneint max(int a,int b) {    int ans=(a>b)?a:b;    return ans;}//Compares 2 values and returns the smaller oneint min(int a,int b){    int ans=(a<b)?a:b;    return ans;}int egg(int n,int h){    //Basis case    if(n==1) return h;    if(h==0) return 0;    if(h==1) return 1;    int minimum=INT_MAX;    //Recursion to find egg(n,k). The loop iterates i: 1,2,3,...h    for(int x=1;x<=h;x++) minimum=min(minimum,(1+max(egg(n,h-x),egg(n-1,x-1))));    return minimum;}int main(){    int e;//Number of eggs    int f;//Number of floors    cout<<"Egg dropping puzzle\n\nNumber of eggs:";    cin>>e;    cout<<"\nNumber of floors:";    cin>>f;    cout<<"\nNumber of drops in the worst case:"<<egg(e,f);    return 0;}}

参见

递归
二项式系数
取整函数、高斯符号

双蛋问题

参见

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