置换群

其他有限群
对称群,
二面体群,
无限群
整数, Z
模群, PSL(2,Z) 和 SL(2,Z)

G₂ F₄E₆ E₇E₈
劳仑兹群
庞加莱群

环路群
量子群
O(∞) SU(∞) Sp(∞)

数学上，一个置换群是一个群${\displaystyle G}$，其元素是一个给定集${\displaystyle M}$上的置换，${\displaystyle G}$中的群运算定义成排列的合成（把排列看作是从M到自身的双射）。包含所有${\displaystyle M}$的置换的群是被称为${\displaystyle M}$的对称群，记做 ${\displaystyle \text{Sym}(M)}$，因此置换群是对称群的一个子群。如果${\displaystyle M}$是有限集，包含${\displaystyle n}$个元素数，则${\displaystyle M}$的置换群记做${\displaystyle S_n}$。

置换群到被置换的元素的应用称为群作用；它在对称性和组合论以及数学的其他很多分支中有应用。

置换通常写作轮换形式，例如，在轮换指标计算中，给定集合${\displaystyle M=\{1,2,3,4\}}$，${\displaystyle M}$的一个置换${\displaystyle g}$若为${\displaystyle g(1)=2,g(2)=4,g(4)=1}$和${\displaystyle g(3)=3}$，可以写作${\displaystyle (1,2,4)(3)}$，或者更常见的写作${\displaystyle (1,2,4)}$，因为${\displaystyle 3}$保持不变；若对象有单个字母或数字表示，逗号也被省去，所以可以记作${\displaystyle (124)}$。

${\displaystyle (1),(12)}$

${\displaystyle (1),(12),(13),(23),(123),(132)}$

${\displaystyle (1),}$${\displaystyle (12),(13),(14),(23),(24),(34),}$${\displaystyle (123),(132),(124),(142),(134),(143),(234),(243),}$${\displaystyle (1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(1432),(12)(34),(13)(24),(14)(23)}$