泡利矩阵

✍ dations ◷ 2024-12-23 19:26:40 #李群,矩阵,量子力学

在数学和数学物理中,泡利矩阵是一组三个2×2的幺正厄米复矩阵,一般都以希腊字母σ来表示,但有时当他们在和同位旋的对称性做连结时,会被写成τ。他们在泡利表像(σ表像)可以写成:

这些矩阵是以物理学家沃尔夫冈·泡利命名的。在量子力学中,它们出现在泡利方程中描述磁场和自旋之间相互作用的一项。所有的泡利矩阵都是厄米矩阵,它们和单位矩阵I(有时候又被称为为第零号泡利矩阵0),的线性张成为2×2厄米矩阵的向量空间。

从量子力学的角度来看,埃尔米特矩阵(算符)代表可观测的物理量,因此,σ, = 0,1,2,3的线性张成代表所有作用在二维希尔伯特空间的物理量所形成的空间。从泡利本人的的研究来看,σ , =1,2,3所代表的物理量是自旋在三维欧几里得空间ℝ3中第个坐标轴的投影分量。

三个泡利矩阵可以共同用一种单一形式表达:

其中是克罗内克函数。当=时,其值为1;当≠时,其值为0。

这些矩阵是对合的:

其中是单位矩阵。

此外,泡利矩阵的行列式和它们的迹分别为:

故从上述关系可以推得每个泡利矩阵的本征值分别为±1。

每个泡利矩阵有两个本征值,+1和−1,其对应的归一化本征向量为:

泡利向量定义为:

这个定义提供了将一般向量基底对应到泡利矩阵的基底的机制

相同的下标是使用了爱因斯坦求和约定。此外:

泡利矩阵有以下的对易关系:

以及以下的反对易关系。

其中是列维-奇维塔符号,是克罗内克函数,是是2 ×2的单位矩阵。而一样的,上面使用了爱因斯坦求和约定。

将泡利矩阵的对易和反对易相加得:

因此可得:

为了避免符号重复,将, , 改成, , ,然后把上式和三维向量和内积,可得:

将它转换成向量积的表达式:

a = a n ^ {\displaystyle {\vec {a}}=a{\hat {n}}} 可得:

另外加上之前求得在 = 1的情况可在为奇数的情况:

利用矩阵指数的概念,加上正弦和余弦的泰勒级数展开式,可得:

第一项的总和为 cos a {\displaystyle \cos {a}}

利用这种表示方法,泡利矩阵的完备性关系可写作:

因为所有的泡利矩阵,和2×2的单位矩阵可做为所有2×2矩阵在希尔伯特空间中的正交基底,表示任何一个复系数矩阵皆可表示为:

其中是一复数,是一复向量中的三个系数。

利用之前给的关系式,容易证明:

"tr"表示对该矩阵取其迹,因此, c = 1 2 t r M {\displaystyle c={\frac {1}{2}}\mathrm {tr} \,M} 和,使用了爱因斯坦求和约定。而因为这关系对所有矩阵都成立,因此要证的完备性关系必然成立。

有时习惯上将2×2单位举写成0,也就是,0 = 。如此一来完备性关系可以更为简洁的表示成:

令算符为换位算符(或称为置换算符)。对于两个在张量积空间ℂ2 ⊗ ℂ2中的自旋该算符有:

的关系。这个算符可以更进一步的用泡利矩阵来表示:

该算符有两个本征值,分别1和-1,这个算符可以用于代表某些哈密顿量的相互作用项,产生对称和反对称的本征态分裂的效果。

{, 1, 2, 3}的实数张成与四元数ℍ的实代数同构,可透过下列映射得到对应关系(注意到泡利矩阵的负号):

另外一种方式的映射为将泡利矩阵的次序反转

既然单位四元数与SU(2)为群同构,此亦代表泡利矩阵也可用来描述SU(2)。从SU(2)到SO(3)的2对1同态性,也可以用泡利矩阵来表述。

四元数构成可除代数——所有非零元素皆有逆元素,然而泡利矩阵并非如此。泡利矩阵生成的代数的四元数版,参见复四元数,其共有8个实维度。

相关

  • 不可逆拮抗剂不可逆拮抗剂是一种永久与受体结合的拮抗剂。它要么与活性位点形成共价键,要么结合得很牢固,以至于离解速率在相关时间跨度内可视为零。这使受体永久失活,并很快被内化、回收。
  • 利比亚自发强制实施联合国安理会1973号决议的多国部队萨科齐总统 埃都尔德·吉约海军上将卡梅伦首相 大卫·理查兹爵士(英语:David Richards (British Army officer))上将奥巴马总
  • 牧地牧地在地理学上,是指由大面积天然草本植物或灌木植被覆盖,而又可供畜养或野生的草食性动物取食的地区。
  • 心血运动论《心血运动论》(拉丁语:Exercitatio Anatomica de Motu Cordis et Sanguinis in Animalibus),全称《关于动物心脏与血液运动的解剖研究》,是英国生理学家、胚胎学家威廉·哈维于1
  • 数据结构与算法在计算机科学中,数据结构(英语:data structure)是计算机中存储、组织数据的方式。数据结构意味着接口或封装:一个数据结构可被视为两个函数之间的接口,或者是由数据类型联合组成的
  • 珍珠港珍珠港(英语:Pearl Harbor)是一个位于美国哈瓦伊欧胡岛上的海港,位于该州首府檀香山西方。其命名的由来,是该地曾经盛产珍珠而得名。珍珠港港区与邻近岛屿上大部分的设施都属于美
  • 工人左翼团结工人左翼团结(波斯语:اتحاد چپ کارگری‎)是伊朗的一个极左翼反对派政党联盟,目前处于流亡状态。该联盟的成员有:伊朗革命工人组织(工人道路)、伊朗共产主义敢死联盟、
  • 无烟火药无烟火药(Smokeless powder)指取代黑火药的无烟发射药,例如硝化纤维,法语为,即白火药,于1884年被发明。发射药(propellants)与炸药性质与使用完全不同,发射药多用于推动枪炮战斗部或
  • 五代友厚五代友厚(1836年2月12日-1885年9月25日),日本明治时代政治家、企业家领袖。五代出生于萨摩藩(今鹿儿岛县)。在20岁左右,他被该藩派到长崎市的海军学校学习海军的战术和科学。由于萨
  • 杜惟熙杜惟熙,字子光,号见山。东阳人。早年讲学于五峰书院,好姓氏谱学,终生钻研不倦,生活节俭,好济贫,尝言:“学者一息不昧,则万古皆通;一刻少宽,即终朝欠缺。”。有弟子陈时芳。