误差函数

✍ dations ◷ 2025-07-11 16:11:27 #特殊函数,特殊超几何函数

在数学中,误差函数(也称之为高斯误差函数)是一个特殊函数(即不是初等函数),其在概率论,统计学以及偏微分方程中都有广泛的应用。它的定义如下:

互补误差函数,记为 erfc,在误差函数的基础上定义:

虚误差函数,记为 ,定义为:

复误差函数,记为(),也在误差函数的基础上定义:

误差函数来自测度论,后来与测量误差无关的其他领域也用到这一函数,但仍然使用误差函数这一名字。

误差函数与标准正态分布的积分累积分布函数 Φ {\displaystyle \Phi } :

其中 z ¯ {\displaystyle {\overline {z}}} 的 复共轭。

复平面上,函数  = exp(−2) 和  = erf() 如图所示。粗绿线表示 Im() = 0,粗红线表示 Im() < 0, 粗蓝线为 Im() > 0。细绿线表示 Im() = constant,细红线表示 Re() = constant<0,细蓝线表示 Re() = constant>0。

在实轴上,  → ∞时,erf() 趋于1, → −∞时,erf() 趋于−1 。在虚轴上, erf() 趋于 ±i∞。

误差函数是整函数,没有奇点(无穷远处除外),泰勒展开收敛。

误差函数泰勒级数:

对每个复数 均成立。上式可以用迭代形式表示:

误差函数的导数:

误差函数的 不定积分为:

逆误差函数 可由 麦克劳林级数表示:

其中, 0 = 1 ,

即:

逆互补误差函数定义为:

互补误差函数的渐近展开,


其中 (2 – 1)!! 为 双阶乘,为实数,该级数对有限 发散。对于 N N {\displaystyle N\in \mathbb {N} } )很好的近似值。(对于不太大的 ,上文泰勒展开在0处可以快速收敛。)。

互补误差函数的连分式展开形式:

其中, 1 = 0.278393, 2 = 0.230389, 3 = 0.000972, 4 = 0.078108

其中,  = 0.47047, 1 = 0.3480242, 2 = −0.0958798, 3 = 0.7478556

其中, 1 = 0.0705230784, 2 = 0.0422820123, 3 = 0.0092705272, 4 = 0.0001520143, 5 = 0.0002765672, 6 = 0.0000430638

其中,  = 0.3275911, 1 = 0.254829592, 2 = −0.284496736, 3 = 1.421413741, 4 = −1.453152027, 5 = 1.061405429

以上所有近似式适用范围是:  ≥ 0. 对于负的 , 误差函数是奇函数这一性质得到误差函数的值, erf() = −erf(−).

另有近似式:

其中,

该近似式在0或无穷的邻域非常准确,整个定义域上,近似式最大误差小于0.00035,取  ≈ 0.147 ,最大误差可减小到0.00012。

逆误差函数近似式:

下式在整个定义域上,最大误差可低至 1.2 10 7 {\displaystyle 1.2\cdot 10^{-7}} 0()为通过原点的直线, E 0 ( x ) = x e π {\displaystyle \scriptstyle E_{0}(x)={\frac {x}{e{\sqrt {\pi }}}}} 2() 即为误差函数 erf()。

 > 0时,广义误差函数可以用Γ函数和 不完全Γ函数表示,

因此,误差函数可以用不完全Γ函数表示为:

互补误差函数的迭代积分定义为:

可以展开成幂级数:

满足如下对称性质:

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