误差函数

在数学中，误差函数（也称之为高斯误差函数）是一个特殊函数（即不是初等函数），其在概率论，统计学以及偏微分方程中都有广泛的应用。它的定义如下：

互补误差函数，记为 erfc，在误差函数的基础上定义：

虚误差函数，记为 ，定义为：

复误差函数，记为()，也在误差函数的基础上定义：

误差函数来自测度论，后来与测量误差无关的其他领域也用到这一函数，但仍然使用误差函数这一名字。

误差函数与标准正态分布的积分累积分布函数${\displaystyle \mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}}$:

其中 ${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z}}$的 复共轭。

复平面上，函数  = exp(−2) 和  = erf() 如图所示。粗绿线表示 Im() = 0，粗红线表示 Im() < 0， 粗蓝线为 Im() > 0。细绿线表示 Im() = constant，细红线表示 Re() = constant<0，细蓝线表示 Re() = constant>0。

在实轴上，  → ∞时，erf() 趋于1， → −∞时，erf() 趋于−1 。在虚轴上， erf() 趋于 ±i∞。

误差函数是整函数，没有奇点（无穷远处除外），泰勒展开收敛。

误差函数泰勒级数：

对每个复数 均成立。上式可以用迭代形式表示：

误差函数的导数：

误差函数的 不定积分为：

逆误差函数 可由 麦克劳林级数表示：

其中， ₀ = 1 ，

即：

逆互补误差函数定义为：

互补误差函数的渐近展开，

其中 (2 – 1)!! 为 双阶乘，为实数，该级数对有限 发散。对于${\displaystyle N\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}}$)很好的近似值。(对于不太大的 ，上文泰勒展开在0处可以快速收敛。)。

互补误差函数的连分式展开形式：

其中， ₁ = 0.278393, ₂ = 0.230389, ₃ = 0.000972, ₄ = 0.078108

其中，  = 0.47047, ₁ = 0.3480242, ₂ = −0.0958798, ₃ = 0.7478556

其中， ₁ = 0.0705230784, ₂ = 0.0422820123, ₃ = 0.0092705272, ₄ = 0.0001520143, ₅ = 0.0002765672, ₆ = 0.0000430638

其中，  = 0.3275911, ₁ = 0.254829592, ₂ = −0.284496736, ₃ = 1.421413741, ₄ = −1.453152027, ₅ = 1.061405429

以上所有近似式适用范围是：  ≥ 0. 对于负的 , 误差函数是奇函数这一性质得到误差函数的值， erf() = −erf(−).

另有近似式：

其中，

该近似式在0或无穷的邻域非常准确，整个定义域上，近似式最大误差小于0.00035，取  ≈ 0.147 ，最大误差可减小到0.00012。

逆误差函数近似式:

下式在整个定义域上，最大误差可低至 ${\displaystyle 1.2\cdot <!--\; \cdot \; -->{10}^{-<!--\; -\; -->7}}$₀()为通过原点的直线， ${\displaystyle E_0(x)=\frac{x}{e\sqrt{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}}}$₂() 即为误差函数 erf()。

 > 0时，广义误差函数可以用Γ函数和 不完全Γ函数表示，

因此，误差函数可以用不完全Γ函数表示为：

互补误差函数的迭代积分定义为：

可以展开成幂级数：

满足如下对称性质：

和