作用量

在物理学里，作用量（英语：action）是一个很特别、很抽象的物理量。它表示著一个动力物理系统内在的演化趋向。虽然与微分方程方法大不相同，作用量也可以被用来分析物理系统的运动，所得到的答案是相同的。只需要设定系统在两个点的状态，初始状态与最终状态，然后，经过求解作用量的平稳值，就可以得到系统在两个点之间每个点的状态。皮埃尔·德·费马于1662年发表了费马原理。这原理阐明：光传播的正确路径，所需的时间必定是极值。这原理在物理学界造成了很大的震撼。不同于牛顿运动定律的机械性，现今，一个物理系统的运动拥有了展望与目标。戈特弗里德·莱布尼茨不同意费马的理论。他认为光应该选择最容易传播的路径。他于1682年发表了他的理论：光传播的正确路径应该是阻碍最小的路径；更精确地说，阻碍与径长的乘积是最小值的路径。这理论有一个难题，如果要符合实验的结果，玻璃的阻碍必须小于空气的阻碍；但是，玻璃的密度大于空气，应该玻璃的阻碍会大于空气的阻碍。莱布尼茨为此提供了一个令人百思的辩解。较大的阻碍使得光较不容易扩散；因此，光被约束在一个很窄的路径内。假若，河道变窄，水的流速会增加；同样地，光的路径变窄，所以光的速度变快了。1744年，皮埃尔·莫佩尔蒂在一篇论文《The agreement between the different laws of Nature that had, until now,seemed incompatiable》中，发表了最小作用量原理：光选择的传播路径，作用量最小。他定义作用量为移动速度与移动距离的乘积。用这原理，他证明了费马原理：光传播的正确路径，所需的时间是极值；他也计算出光在反射与同介质传播时的正确路径。1747年，莫佩尔蒂在另一篇论文《On the laws of motion and of rest》中，应用这原理于碰撞，正确地分析了弹性碰撞与非弹性碰撞；这两种碰撞不再需要用不同的理论来解释。莱昂哈德·欧拉在同年发表了一篇论文《Method for finding curves having a minimal or maximal property or solutions to isoperimetric problems in the broadest accepted sense》 ；其中，他表明物体的运动遵守某种物理量极值定律，而这物理量是 ∫ p a t h   v 2   d t {displaystyle int _{path} v^{2} dt,!} 。应用这理论，欧拉成功的计算出，当粒子受到有心力作用时，正确的抛射体运动。在此以后，许多物理学家，包括约瑟夫·拉格朗日、威廉·哈密顿、理查德·费曼等等，对于作用量都有很不同的见解。这些见解对于物理学的发展贡献甚多。微分方程时常被用来表述物理定律。微分方程指定出，随着极小的时间、位置、或其他变数的变化，一个物理变数如何改变。总合这些极小的改变，再加上这物理变数在某些点的已知数值或已知导数值，就能求得物理变数在任何点的数值。作用量方法是一种全然不同的方法，它能够描述物理系统的运动，而且只需要设定物理变数在两点的数值，称为初始值与最终值。经过作用量平稳的演算，可以得到，此变数在这两点之间任何点的数值。而且，作用量方法与微分方程方法所得到的答案完全相同。哈密顿原理阐明了这两种方法在物理学价位的等价：描述物理系统运动的微分方程，也可以用一个等价的积分方程来描述。无论是关于经典力学中的一个单独粒子、关于经典场像电磁场或重力场，这描述都是正确的。更加地，哈密顿原理已经延伸至量子力学与量子场论了。用变分法数学语言来描述，求解一个物理系统作用量的平稳值（通常是最小值），可以得到这系统随时间的演化（就是说，系统怎样从一个状态演化到另外一个状态）。更广义地，系统的正确演化对于任何摄动必须是平稳的。这要求导致出描述正确演化的微分方程。在经典物理里，作用量这术语至少有七种不同的意义。每一种不同的意义有它不同的表达形式。最常见的作用量是一个泛函 S {displaystyle {mathcal {S}},!} ，输入是参数为时间与空间的函数，输出是一个标量。在经典力学里，输入函数是物理系统在两个时间点 t 1 {displaystyle t_{1},!} ， t 2 {displaystyle t_{2},!} 之间广义坐标 q ( t ) {displaystyle mathbf {q} (t),!} 的演变。作用量 S {displaystyle {mathcal {S}},!} 定义为，在两个时间点之间，系统的拉格朗日量 L {displaystyle L,!} 对于时间的积分：根据哈密顿原理，正确的演化 q t r u e ( t ) {displaystyle mathbf {q} _{mathrm {true} }(t),!} 要求平稳的作用量 S {displaystyle {mathcal {S}},!} （最小值、最大值、鞍值）。经过运算，结果就是拉格朗日方程。简略作用量也是一个泛涵，通常标记为 S 0 {displaystyle {mathcal {S}}_{0},!} 。这里，输入函数是物理系统移动的一条路径，完全不考虑时间参数。举例而言，一个行星轨道的路径是个椭圆，一个粒子在均匀重力场的路径是抛物线；在这两种状况，路径都跟粒子的移动速度无关。简略作用量 S 0 {displaystyle {mathcal {S}}_{0},!} 定义为广义动量 p {displaystyle mathbf {p} ,!} 延著路径的积分：其中， q {displaystyle mathbf {q} ,!} 是广义坐标．根据莫佩尔蒂原理，正确路径的简略作用量 S 0 {displaystyle {mathcal {S}}_{0},!} 是平稳的。哈密顿主函数是由哈密顿-雅可比方程定义的。哈密顿-雅可比方程是经典力学的另一种表述。哈密顿主函数 S {displaystyle S,!} 与泛涵 S {displaystyle {mathcal {S}},!} 有密切的关系。固定住初始时间 t 1 {displaystyle t_{1},!} 和其对应的坐标点 q 1 {displaystyle mathbf {q} _{1},!} ；而准许时间上限 t 2 {displaystyle t_{2},!} 和其对应的坐标点 q 2 {displaystyle mathbf {q} _{2},!} 的改变。取 t 2 {displaystyle t_{2},!} 和 q 2 {displaystyle mathbf {q} _{2},!} 为函数 S {displaystyle S,!} 的参数。换句话说，作用量函数 S {displaystyle S,!} 是拉格朗日量对于时间的不定积分：更加地，可以证明 P {displaystyle mathbf {P} ,!} 是某常数矢量 a {displaystyle mathbf {a} ,!} 。所以，假若，哈密顿量 H {displaystyle H,!} 是守恒的；其中， α {displaystyle alpha ,!} 是常数。设定哈密顿特征函数 W {displaystyle W,!} 为则哈密顿特征函数 W {displaystyle W,!} 是一个作用量。更加地，对于时间积分：这正是简略作用量的方程。哈密顿-雅可比方程是经典力学的一种表述。假若，哈密顿-雅可比方程是完全可分的；则哈密顿主函数 S ( q ,   P ,   t ) {displaystyle S(mathbf {q} , mathbf {P} , t),!} 分出的每一个项目 S k ( q k ,   P ,   t ) {displaystyle S_{k}(q_{k}, mathbf {P} , t),!} 也称为"作用量"。这变数 J k {displaystyle J_{k},!} 称为广义坐标 q k {displaystyle q_{k},!} 的作用量；相应的正则坐标是角度 w k {displaystyle w_{k},!} 。不同于前面简略作用量泛函地用点积来积分矢量；这里，只有一个标量变数 q k {displaystyle q_{k},!} 被用来积分。作用量 J k {displaystyle J_{k},!} 等于，随着 q k {displaystyle q_{k},!} 沿着闭路径， S k ( q k ) {displaystyle S_{k}(q_{k}),!} 的改变。应用于几个有趣的物理系统， J k {displaystyle J_{k},!} 或者是常数，或者改变非常地慢。因此， J k {displaystyle J_{k},!} 时常应用于摄动理论与缓渐不变量的研究。参阅重言1形式。哈密顿原理阐明，如果一个物理系统在两个时间点 t 1 {displaystyle t_{1},!} 、 t 2 {displaystyle t_{2},!} 的运动是正确运动，则作用量泛函 S {displaystyle {mathcal {S}},!} 的一次变分 δ S {displaystyle delta {mathcal {S}},!} 为零。用数学方程表示，定义作用量为其中， L ( q ,   q ˙ ,   t ) {displaystyle L(mathbf {q} , {dot {mathbf {q} }}, t),!} 是系统的拉格朗日函数，广义坐标 q = ( q 1 ,   q 2 ,   … ,   q N ) {displaystyle mathbf {q} =left(q_{1}, q_{2}, ldots , q_{N}right),!} 是时间的函数。假若， q ( t ) {displaystyle mathbf {q} (t),!} 乃系统的正确运动，则 δ S = 0 {displaystyle delta {mathcal {S}}=0,!} 。从哈密顿原理可以导引出拉格朗日方程．假设 q ( t ) {displaystyle mathbf {q} (t),!} 是系统的正确运动，让 ε ( t ) {displaystyle {boldsymbol {varepsilon }}(t),!} 成为一个摄动 δ q {displaystyle delta mathbf {q} ,!} ；摄动在轨道两个端点的值是零：取至 ε ( t ) {displaystyle {boldsymbol {varepsilon }}(t),!} 的一阶摄动，作用量泛函的一次变分为这里，将拉格朗日量 L {displaystyle L,!} 展开至 ε ( t ) {displaystyle {boldsymbol {varepsilon }}(t),!} 的一阶摄动。应用分部积分法于最右边项目，边界条件 ε ( t 1 ) = ε ( t 2 )   = d e f   0 {displaystyle {boldsymbol {varepsilon }}(t_{1})={boldsymbol {varepsilon }}(t_{2}) {stackrel {mathrm {def} }{=}} 0,!} 使第一个项目归零。所以，要求作用量泛函 S {displaystyle {mathcal {S}},!} 平稳。这意味着，对于正确运动的任意摄动 ε ( t ) {displaystyle {boldsymbol {varepsilon }}(t),!} ，一次变分 δ S {displaystyle delta {mathcal {S}},!} 必须等于零：请注意，还没有对广义坐标 q ( t ) {displaystyle mathbf {q} (t),!} 做任何要求。现在，要求所有的广义坐标都互相无关（完整限制）。这样，根据变分法基本引理，可以得到拉格朗日方程：在各个物理学领域，拉格朗日方程都被认为是非常重要的方程，能够用来精确地理论分析许多物理系统。对应于广义坐标 q k {displaystyle q_{k},!} 的广义动量 p k {displaystyle p_{k},!} ，又称为共轭动量，定义为假设 L {displaystyle L,!} 不显性地跟广义坐标 q k {displaystyle q_{k},!} 有关，则广义动量 p k   = d e f   ∂ L ∂ q ˙ k {displaystyle p_{k} {stackrel {mathrm {def} }{=}} {frac {partial L}{partial {dot {q}}_{k}}},!} 是常数。在此种状况，坐标 q k {displaystyle q_{k},!} 称为循环坐标。举例而言，如果用极坐标系 ( r ,   θ ,   h ) {displaystyle (r, theta , h),!} 来描述一个粒子的平面运动，而 L {displaystyle L,!} 与 θ {displaystyle theta ,!} 无关，则广义动量是守恒的角动量。