首页 >
可计算函数
✍ dations ◷ 2025-06-06 14:35:25 #可计算函数
在可计算性理论中,可计算函数(computable function)或图灵可计算函数是研究的基本对象。它们使我们直觉上的算法概念更加精确。使用可计算函数来讨论可计算性而不提及任何具体的计算模型,如图灵机或寄存器机。但是它们的定义必须提及某种特殊的计算模型。在可计算函数的精确定义之前,数学家经常使用非正式术语可有效计算的。这个术语因此可以被认同为可计算函数。尽管这些函数被叫做有效的,它们可能极其困难。可行可计算性和计算复杂性研究可有效计算的函数。依据邱奇-图灵论题,可计算函数精确的是使用给出无限数量的时间和存储空间的机器计算设备来计算的函数。等价的说,这个论题声称有算法的任何函数都是可计算的。可以使用Blum公理来在可计算函数的集合上定义抽象计算复杂性理论。在计算复杂性理论中,确定一个可计算函数的复杂性的问题叫做功能性问题。计算函数是在自然数上的有限偏函数。每个可计算函数
f
{displaystyle f}
接受固定数目个自然数作为参数;不同的函数接受不同数目的参数。因为函数是部分的,它们可以不定义在所有可能的输入选择上。如果定义了一个可计算函数,则它返回一个单一自然数作为输出(这个输出可以被解释为使用配对函数的一列数)。记号
f
(
x
1
,
…
,
x
k
)
↓
{displaystyle f(x_{1},ldots ,x_{k})downarrow }
指示偏函数
f
{displaystyle f}
被定义在参数
x
1
,
…
,
x
k
{displaystyle x_{1},ldots ,x_{k}}
上,而记号
f
(
x
1
,
…
,
x
k
)
↓=
y
{displaystyle f(x_{1},ldots ,x_{k})downarrow =y}
指示
f
{displaystyle f}
被定义在参数
x
1
,
…
,
x
k
{displaystyle x_{1},ldots ,x_{k}}
上而返回的值是
y
{displaystyle y}
。这些函数也叫做偏递归函数。在可计算理论中,函数的定义域是函数被定义在其上的所有输入的集合。定义在所有参数上的函数叫做全函数。如果可计算函数是全函数,它叫做全可计算函数或全递归函数。有很多等价方式定义可计算函数的类。为了具体,本文余下部分将假定可计算函数已经被定义可以被图灵机计算的那些偏函数。有很多计算的等价模型定义同一类可计算函数。这些计算模型包括等等。自然数的集合A被叫做可计算的(同义词:递归的,可决定的),如果有可计算函数f使得对于每个自然数n,
f
(
n
)
↓=
1
{displaystyle f(n)downarrow =1}
如果n在A中,并且
f
(
n
)
↓=
0
{displaystyle f(n)downarrow =0}
如果n不在A中。自然数的集合被叫做计算可枚举的(同义词:递归可枚举的,半可判定的),如果有可计算函数f使得对于每个自然数n,f(n)是有定义的,当且仅当n在这个集合中。所以一个集合是计算可枚举的,当且仅当它是某个可计算函数的定义域。使用词可枚举的因为对于自然数的非空子集B下列是等价的:如果集合B是函数f的值域,则这个函数可以被看作B的枚举,因为列表f(0), f(1), ...将包含B的所有元素。因为在自然数上的每个有限关系都可以被识别为对应的自然数的有限序列的集合,可计算关系和计算可枚举关系的概念可以从它们的集合类似物来定义。在计算机科学的可计算性理论中,经常考虑形式语言。它包括任意集合的一个字母表,在字母表上的字是来自字母表的符号的有限序列;同一个符号可以出现多于一次。例如,二进制字符串精确的是在字母表
{
0
,
1
}
{displaystyle {0,1}}
上的字。语言是在固定字母表上的所有字的搜集的子集。例如,精确的包含三个字母的所有二进制字符串的搜集是在二进制字母表上的一个语言。形式语言的一个关键性质是对判定一个给定字是否在这个语言中的难度级别。必须开发某种编码系统来允许可计算函数来接受在语言中的任意字作为输入;这通常是要认真处置的例程。一个语言被称为是可计算的(同义词:递归的、可判定的),如果存在一个可计算函数
f
{displaystyle f}
使得对于在字母表上的每个字w,
f
(
w
)
↓=
1
{displaystyle f(w)downarrow =1}
如果这个字在这个语言中,并且
f
(
w
)
↓=
0
{displaystyle f(w)downarrow =0}
如果这个字不在这个语言中。所以一个语言在有一个过程能正确的判定任意的字是否在这个语言中的情况下是可计算的。一个语言是计算可枚举的(同义词:递归可枚举的,半可判定的),如果有可计算函数f使得
f
(
w
)
{displaystyle f(w)}
是有定义的,当且仅当字w在这个语言中。术语可枚举同自然数的计算可枚举集合有同样的语源。如果f和g是可计算的,则:f + g, f * g,
f
∘
g
{displaystyle fcirc g}
如果
f是一元的,max(f,g), min(f,g)和更多的组合都是可计算的。
相关
- 扫描式电子显微镜扫描电子显微镜(英语:Scanning Electron Microscope,缩写为SEM),简称扫描电镜,是一种电子显微镜,其通过用聚焦电子束扫描样品的表面来产生样品表面的图像。电子与样品中的原子相互
- 亚种亚种(subspecies)是指虽属同一物种但种内彼此占据地理分布或宿主互不重叠且生殖隔离不完善,彼此具有一定形态差异的生物类群。亚种名与种加词相同的亚种被称为指名亚种,亦称原名
- 毒素本文所指的毒素(英语:Toxin),是指生物体所生产出来的毒物(poison),这个术语最早是由有机化学家路德维希(Ludwig Brieger)所提出。这些物质通常是一些会干扰生物体中其他大分子作用的
- 硫柳汞硫柳汞(邻乙汞硫基苯酸钠)是疫苗中含有汞的防腐剂。反疫苗人士(英语:Anti-vaccination)错误的认为疫苗会导致自闭症,而他们认为硫柳汞中含的汞就是原因之一。目前没有科学证据(英语
- 壶菌纲壶菌纲(学名:Chytridiomycetes)是真菌下的一纲。它们可以分布在土壤、淡水及咸水河口中。它们是原始的真菌,最初是在英国的瑞尼燧石中发现。最年它们的分类重新编排,排除了Neocal
- 麦地那龙线虫麦地那龙线虫病,又名几内亚线虫病(GWD),是龙线虫感染所引发的疾病。人类饮用不洁净的水后,如果水中含有感染了龙线虫幼虫的水蚤,就会受到感染。患者起初没有症状。大约一年后,母虫
- 圣奥古斯丁县圣奥古斯丁县(San Augustine County, Texas)是美国德克萨斯州的一个县。面积1,534平方公里。根据美国2000年人口普查,共有人口8,946人。县治圣奥古斯丁(San Augustine)。成立于18
- 醛糖醛糖(英语:Aldose) 是一类单糖,每个分子含有一个醛基,化学式的规律为CnH2nOn(n≥3)。甘油醛是构造最简单的醛糖,这种糖只含有3个碳原子。果聚糖:菊粉 · 果聚糖β2→6甘露聚糖:低聚
- 广平省广平省(越南语:Tỉnh Quảng Bình/.mw-parser-output .han-nom{font-family:"Nom Na Tong","Han-Nom Gothic","Han-Nom Ming","HAN NOM A","HAN NOM B","Ming-Lt-HKSCS-UNI-H"
- 禽类鸟是鸟纲(学名:Aves)动物的通称,是唯一存活至今的恐龙,现代所有鸟类在生物学上也被分类为鸟形恐龙(即鸟翼类)的一部分;鸟纲的全体成员均为两足、恒温、卵生、身披羽毛且色彩鲜艳各异