适定性问题

✍ dations ◷ 2024-12-23 10:02:11 #数值分析,偏微分方程

数学术语适定性问题来自于数学家阿达马(英文: Jacques Solomon Hadamard)所给出的定义。他认为物理现象中的数学模型应该具备下述性质:

适定性问题的原型范例包括对于拉普拉斯方程的狄利克雷问题,以及给定初始条件的热传导方程式。在物理过程中解决的这些问题,也许被视为“自然”问题。相较之下,反向热导方程,推演来自最终数据的温度的稍早分布就不是适定的,因为这个解对最终数据极为敏感。一个问题如果不是适定的,哈达玛就将其视为不适定。逆问题通常是不适定的。

这些连续问题必须使其离散,以取得数值解。泛函分析问题通常是连续的,当以有限精度或存有错误的资料求解时,它可以承受这些数值的不稳定性。

即使一个问题是适定的,它也可能仍是病态的;即在初始资料中的一个微小错误,可以造成很大错误的答案。病态问题以大的条件数表示。

如果某一个问题是适定的,它就有机会在使用了稳定算法的电脑上取得解。如果问题是不适定的,就需要为数值处理重新以公式表示。这通常包含了额外的假设,例如:解的平滑性。这个过程称为正则化(英语:Regularization (mathematics))(Regularization)。吉洪诺夫正则化是最常使用的正则化方法之一。

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