素数定理

在数论中，素数定理描述素数在自然数中分布的渐进情况，给出随着数字的增大，素数的密度逐渐降低的直觉的形式化描述。1896年法国数学家雅克·阿达马和比利时数学家德拉瓦·莱普森（英语：Charles Jean de la Vallée-Poussin）（Charles Jean de la Vallée-Poussin）先后独立给出证明。证明用到了复分析，尤其是黎曼ζ函数。

素数的出现规律一直困惑着数学家。一个个地看，素数在正整数中的出现没有什么规律。可是总体地看，素数的个数竟然有规可循。对正实数，定义π()为素数计数函数，亦即不大于的素数个数。数学家找到了一些函数来估计π()的增长。以下是第一个这样的估计。

其中 ln  为 的自然对数。上式的意思是当 趋近无限，π()与/ln 的比值趋近 1。但这不表示它们的数值随着 增大而接近。

下面是对π()更好的估计：

其中${\displaystyle \mathrm{L}\mathrm{i}(x)={\int <!--\; \int \; -->}_2^x\frac{dt}{\ln t}}$) 为素数计数函数，也就是小于等于 的素数个数。例如 π(10)=4，因为共有 4 个素数小于等于 10，分别是 2、3、5、7。素数定理的叙述为：当 趋近无限，π() 和 ${\displaystyle \frac{x}{\ln <!--\; \; -->x}}$ 很大的时候，π() 差不多等于 ${\displaystyle \frac{x}{\ln <!--\; \; -->x}}$ 趋近无限，${\displaystyle \mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}(x)}$ 趋近无限，${\displaystyle \mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}(x)}$)，/ln 和Li()：

1797年至1798年间，法国数学家勒让德根据上述的素数表猜测，${\displaystyle \mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}(x)}$ = 1， = −1.08366。根据高斯自己在1849年的回忆，他在15岁或16岁(1792或1793年)的时候就已经考虑过类似的问题了。1832年，狄利克雷经过跟高斯的交流之后，给出了一个新的逼近函数 li(x)，(事实上他是用一个有点不一样的级数表达式)。勒让德和狄利克雷的式子皆等价于现在的版本，但如果考虑逼近式与 ${\displaystyle \mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}(x)}$ 的形式，且 t>0，则 ${\displaystyle \mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}(s)\ne <!--\; \ne \; -->0}$)关系密切，关于黎曼ζ函数的黎曼猜想对数论很重要。一旦猜想获证，便能大大改进素数定理误差的估计。1901年瑞典数学家海里格·冯·科赫证明出，假设黎曼猜想成立，以上关系式误差项的估计可改进为

至于大O项的常数则还未知道。

素数定理有些初等证明只需用数论的方法。第一个初等证明于1949年由匈牙利数学家保罗·埃尔德什和挪威数学家阿特利·西尔伯格合作得出。

在此之前一些数学家不相信能找出不需借助艰深数学的初等证明。像英国数学家哈代便说过素数定理必须以复分析证明，显出定理结果的“深度”。他认为只用到实数不足以解决某些问题，必须引进复数来解决。