力矩

在物理学里，作用力促使物体绕着转动轴或支点转动的趋向，称为力矩（torque），也就是扭转的力。转动力矩又称为转矩。力矩能够使物体改变其旋转运动。推挤或拖拉涉及到作用力 ，而扭转则涉及到力矩。如图右，力矩 τ {displaystyle {boldsymbol {tau }},!} 等于径向矢量 r {displaystyle mathbf {r} ,!} 与作用力 F {displaystyle mathbf {F} ,!} 的外积。简略地说，力矩是一种施加于好像螺栓或飞轮一类的物体的扭转力。例如，用扳手的开口箝紧螺栓或螺帽，然后转动扳手，这动作会产生力矩来转动螺栓或螺帽。根据国际单位制，力矩的单位是牛顿 ⋅ {displaystyle cdot } 米。本物理量非能量，因此不能以焦耳（J）作单位；根据英制单位，力矩的单位则是英尺 ⋅ {displaystyle cdot } 磅。力矩的表示符号是希腊字母 τ {displaystyle {boldsymbol {tau }},!} ，或 M {displaystyle mathbf {M} ,!} 。力矩与三个物理量有关：施加的作用力 F {displaystyle mathbf {F} ,!} 、从转轴到施力点的位移矢量 r {displaystyle mathbf {r} ,!} 、两个矢量之间的夹角 θ {displaystyle theta ,!} 。力矩 τ {displaystyle {boldsymbol {tau }},!} 以矢量方程表示为力矩的大小为力矩的概念，起源于阿基米德对杠杆的研究。力矩等于作用于杠杆的作用力乘以支点到力的垂直距离。例如，3 牛顿的作用力，施加于离支点2 米处，所产生的力矩，等于1牛顿的作用力，施加于离支点6米处，所产生的力矩。力矩是个矢量。力矩的方向与它所造成的旋转运动的旋转轴同方向。力矩的方向可以用右手定则来决定。假设作用力垂直于杠杆。将右手往杠杆的旋转方向弯卷，伸直的大拇指与支点的旋转轴同直线，则大拇指指向力矩的方向。更一般地，如图右，假设作用力 F {displaystyle mathbf {F} ,!} 施加于位置为 r {displaystyle mathbf {r} ,!} 的粒子。选择原点为参考点，力矩 τ {displaystyle {boldsymbol {tau }},!} 以方程定义为力矩大小为其中， θ {displaystyle theta ,!} 是两个矢量 F {displaystyle mathbf {F} ,!} 与 r {displaystyle mathbf {r} ,!} 之间的夹角。力矩大小也可以表示为其中， F ⊥ {displaystyle F_{perp },!} 是作用力 F {displaystyle mathbf {F} ,!} 对于 r {displaystyle mathbf {r} ,!} 的垂直分量。任何与粒子的位置矢量平行的作用力不会产生力矩。从叉积的性质，可推论，力矩垂直于位置矢量 r {displaystyle mathbf {r} ,!} 和作用力 F {displaystyle mathbf {F} ,!} 。力矩的方向与旋转轴平行，由右手定则决定。假设一个粒子的位置为 r {displaystyle mathbf {r} ,!} ，动量为 p {displaystyle mathbf {p} ,!} 。选择原点为参考点，此粒子的角动量 L {displaystyle mathbf {L} ,!} 为粒子的角动量对于时间的导数为其中， m {displaystyle m,!} 是质量， v {displaystyle mathbf {v} ,!} 是速度， a {displaystyle mathbf {a} ,!} 是加速度。应用牛顿第二定律， F = m a {displaystyle mathbf {F} =mmathbf {a} ,!} ，可以得到按照力矩的定义， τ   = d e f   r × F {displaystyle {boldsymbol {tau }} {stackrel {def}{=}} mathbf {r} times mathbf {F} ,!} ，所以，作用于一物体的力矩，决定了此物体的角动量 L {displaystyle mathbf {L} ,!} 对于时间 t {displaystyle t,!} 的导数。假设几个力矩共同作用于物体，则这几个力矩的合力矩 τ n e t {displaystyle {boldsymbol {tau }}_{mathrm {net} },!} 共同决定角动量的对于时间的变化：关于物体的绕着固定轴的旋转运动，其中， I {displaystyle I,!} 是物体对于固定轴的转动惯量， ω {displaystyle {boldsymbol {omega }},!} 是物体的角速度。所以，取上述方程对时间的导数：其中， α {displaystyle {boldsymbol {alpha }},!} 是物体的角加速度。力矩的定义是距离乘以作用力。根据国际单位制，力矩的单位是牛顿 ⋅ {displaystyle cdot } 米（Nm）。虽然牛顿与米的次序，在数学上，是可以交换的，但是国际重量测量局（Bureau International des Poids et Mesures）规定这次序应是牛顿 ⋅ {displaystyle cdot } 米，而不是米 ⋅ {displaystyle cdot } 牛顿。根据国际单位制，能量与功量的单位是焦耳，定义为1牛顿 ⋅ {displaystyle cdot } 米。但是，焦耳不是力矩的单位。因为，能量是力点积距离的标量；而力矩是距离叉积作用力的矢量。当然，量纲相同并不尽是巧合，使1牛顿 ⋅ {displaystyle cdot } 米的力矩，作用1 全转，需要恰巧 2 π {displaystyle 2pi ,!} 焦耳的能量：其中， E {displaystyle E,!} 是能量， θ {displaystyle theta ,!} 是移动的角度，单位是弧度。根据英制，力矩的单位是英尺 ⋅ {displaystyle cdot } 磅。在物理学外，其他的学术界里，力矩时常会如以下定义：右图显示出矩臂（moment arm）、前面所提及的相对位置 r {displaystyle mathbf {r} ,!} 、作用力 F {displaystyle mathbf {F} ,!} （force）。这个定义并没有指出力矩的方向，只有力矩的大小。所以，并不适用于三维空间问题。当一个物体在静态平衡时，合力是零，对任何一点的合力矩也是零。二维空间的平衡要求是这里， F x ,   F y {displaystyle F_{x}, F_{y},!} 是作用力 F {displaystyle mathbf {F} ,!} 分别在x-轴与y-轴的分量。假若，这三个联立方程有解，则称此系统为静定系统；不然，则称为静不定系统。假设施加作用力于一物体，使得此物体移动一段距离，则作用力对于此物体做了机械功。类似地，假设施加力矩于一物体，使得此物体旋转一段角位移，则力矩对于此物体做了机械功。对于穿过质心的固定轴的旋转运动，以数学方程表达，其中， W {displaystyle W,!} 是机械功， θ 1 {displaystyle theta _{1},!} 、 θ 2 {displaystyle theta _{2},!} 分别是初始角和终结角， d θ {displaystyle mathrm {d} theta ,!} 是无穷小角位移元素。根据功能定理， W {displaystyle W,!} 也代表物体的旋转动能 K r o t {displaystyle K_{mathrm {rot} },!} 的改变，以方程表达，功率是单位时间内所做的机械功。对于旋转运动，功率 P {displaystyle P,!} 以方程表达为请注意，力矩注入的功率只跟瞬时角速度有关，而角速度是否在增加中，或在减小中，或保持不变，功率都与这些状况无关。实际上，在与大型输电网络相连接的发电厂里，可以观察到这关系。发电厂的发电机的角速度是由输电网络的频率设定，而发电厂的功率输出是由作用于发电机转动轴的力矩所决定。在计算功率时，必须使用一致的单位。采用国际单位制，功率的单位是瓦特，力矩的单位是牛顿-米，角速度的单位是每秒弧度（不是每分钟转速rpm，也不是每秒钟转速）。力矩原理阐明，几个作用力施加于某位置所产生的力矩的总和，等于这些作用力的合力所产生的力矩。力矩原理又名伐里农定理(Varignon's theorem)（以法国科学家兼神父皮埃尔·伐里农命名），以方程表达，