赫尔德不等式是数学分析的一条不等式，取名自德国数学家奥托·赫尔德。这是一条揭示L空间的相互关系的基本不等式：
设和互为赫尔德共轭。
若取 || = 0，那么 -几乎处处为零，且乘积 -几乎处处为零，因此赫尔德不等式的左端为零。如果|||| = 0也是这样。因此，我们可以假设|| || > 0且|||| > 0。
如果|| || = ∞或|||| = ∞，那么不等式的右端为无穷大。因此，我们可以假设|| ||和||||位于(0,∞)内。
如果 = ∞且 = 1，那么几乎处处有|| ≤ || ||∞ |g|，不等式就可以从勒贝格积分的单调性推出。对于 = 1和 = ∞，情况也类似。因此，我们还可以假设, ∈ (1,∞)。
分别用和除|| ||||||，我们可以假设：
我们现在使用杨氏不等式：
对于所有非负的和，当且仅当 = 时等式成立。因此：
两边积分，得：
这便证明了赫尔德不等式。
在 ∈ (1,∞)和|| || = |||| = 1的假设下，等式成立当且仅当几乎处处有| |p = ||q。更一般地，如果|| ||和||||位于(0,∞)内，那么赫尔德不等式变为等式，当且仅当存在, > 0（即 = ||||且 = || ||），使得：
|| || = 0的情况对应于(*)中的 = 0。|||| =0 的情况对应于(*)中的 = 0。
