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赫尔德不等式

✍ dations ◷ 2025-12-03 05:38:25 #赫尔德不等式

赫尔德不等式是数学分析的一条不等式，取名自德国数学家奥托·赫尔德。这是一条揭示L空间的相互关系的基本不等式：

设 ${displaystyle S}$ 和互为赫尔德共轭。

若取 ${displaystyle S}$ || = 0，那么 -几乎处处为零，且乘积 -几乎处处为零，因此赫尔德不等式的左端为零。如果|||| = 0也是这样。因此，我们可以假设|| || > 0且|||| > 0。

如果|| || = ∞或|||| = ∞，那么不等式的右端为无穷大。因此，我们可以假设|| ||和||||位于(0,∞)内。

如果 = ∞且 = 1，那么几乎处处有|| ≤ || ||_∞ |g|，不等式就可以从勒贝格积分的单调性推出。对于 = 1和 = ∞，情况也类似。因此，我们还可以假设, ∈ (1,∞)。

分别用和除|| ||||||，我们可以假设：

我们现在使用杨氏不等式：

对于所有非负的和，当且仅当 = 时等式成立。因此：

两边积分，得：

这便证明了赫尔德不等式。

在 ∈ (1,∞)和|| || = |||| = 1的假设下，等式成立当且仅当几乎处处有| |p = ||q。更一般地，如果|| ||和||||位于(0,∞)内，那么赫尔德不等式变为等式，当且仅当存在, > 0（即 = ||||且 = || ||），使得：

|| || = 0的情况对应于(*)中的 = 0。|||| =0 的情况对应于(*)中的 = 0。

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