黎曼曲率张量

在微分几何中，黎曼曲率张量或黎曼张量是表达黎曼流形的曲率的标准方式，更普遍的，它可以表示有仿射联络的流形的曲率,包括无扭率或有挠率的。曲率张量通过列维-奇维塔联络(更一般的，一个仿射联络)${\displaystyle \mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}$。

线性变换${\displaystyle w\mapsto <!--\; \mapsto \; -->R(u,v)w}$也称曲率变换。

进一步,由上式定义了如下的三重线性映射

映射${\displaystyle R}$关于每一个自变量都是${\displaystyle C^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}}$线性的, 故${\displaystyle R}$是${\displaystyle M}$上的${\displaystyle (1,3)}$型光滑张量场, 称之为仿射联络空间${\displaystyle (M,\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->})}$的曲率张量.在坐标向量场下，${\displaystyle R}$ 可以表示为

还可以定义四重线性映射，如下

则映射 ${\displaystyle R}$关于每一个自变量都是${\displaystyle C^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}}$ 线性的, 故${\displaystyle R}$是黎曼流形${\displaystyle (M,g)}$上的 ${\displaystyle (0,4)}$ 型光滑张量场, 称之为黎曼流形 ${\displaystyle (M,g)}$ 的黎曼曲率张量. 在坐标向量场下, ${\displaystyle R}$ 可以表示为

黎曼曲率张量有如下的对称性:

最后一个恒等式由里奇发现,但是称为第一比安基恒等式(First Bianchi identity)或代数比安基恒等式(Algebraic Bianchi identity)，因为和下面的比安基恒等式相像。

这三个恒等式组成曲率张量对称性的完整列表，也就是给定说任何满足上述恒等式的张量，可以找到一个黎曼流形在某点的曲率张量和它一样。简单的计算表明这样一个张量有${\displaystyle n^2(n^2-<!--\; -\; -->1)/12}$个独立分量。

另一个有用的恒等式可以由上面这些导出:

比安基恒等式(Bianchi identity)，经常也叫第二比安基恒等式(Second Bianchi identity)或微分比安基恒等式(Differential Bianchi identity)。它涉及到协变导数:

给定流形某点的任一坐标表示，上述恒等式可以用黎曼曲率张量的分量形式表示为:

其中方括号表示对下标的反对称化，分号表示协变导数。这些恒等式在物理中有应用，特别是广义相对论。