耗散系统

耗散系统（Dissipative system）是指远离热力学平衡状态的开放系统，此系统和外环境交换能量、物质和熵而继续维持平衡，对这种结构的研究，解释了自然界许多以前无法解释的现象。

耗散结构一词由比利时物理学家、化学家伊里亚·普里高津发明。普里高津创立了耗散结构理论，研究一个系统从混沌无序向有序转化的机理、条件和规律的科学，他为此曾获1977年诺贝尔化学奖。

常见的耗散结构包括对流、气旋、热带气旋及生物体。像镭射、瑞利–贝纳尔对流（英语：Rayleigh–Bénard convection）及B-Z反应也是耗散结构的例子。

耗散结构的特点是自发生的对称性破缺（各向异性）以及复杂，甚至混沌的结构。普里高津考虑的耗散结构有其动态的机制，因此可以视为热力学上的稳态，有时也可以用适当的非平衡热力学中的极值定理（英语：extremal principles in non-equilibrium thermodynamics）来描述。

以前的物理理论认为，只有能量最低时，系统最稳定，否则系统将消耗能量，产生熵，而使系统不稳定。耗散结构理论认为在高能量的情况下，开放系统也可以维持稳定。例如生物体，以前按照热力学定律，是一种极不稳定的结构，不断地产生熵而应自行解体，但实际是反而能不断自我完善。其实生物体是一种开放结构，不断从环境中吸收能量和物质，而向环境放出熵，因而能以破坏环境的方式保持自身系统的稳定。城市也是一种耗散结构。

牛顿的万有引力描述的是无始无终按规律运行的美好世界，而热力学第二定律描述的是一切终将走向灭亡的热寂，相较之下，耗散结构描述在远离平衡态的开放系统中“生”的机制，但其先决假定条件是存在提供能量、物质，并且可以交换熵的外环境。

一开放系统的熵变化可以表示如下：

熵变化可以分解为系统内（${\displaystyle d{S}_i}$）及系统外的（${\displaystyle d{S}_e}$，和环境交换的熵）。

在封闭系统中系统无法和环境交换熵，因此（${\displaystyle dS=d{S}_i}$），根据热力学第二定律${\displaystyle d{S}_i\ge <!--\; \ge \; -->0}$（等号成立时表示平衡），因此${\displaystyle dS\ge <!--\; \ge \; -->0}$。

不过在开放系统中，系统可以和环境交换熵，因此可以形成一个稳态的结构，假设总熵不变${\displaystyle dS=0}$，根据热力学第二定律${\displaystyle d{S}_i\ge <!--\; \ge \; -->0}$，因此可得

在系统及控制理论中，耗散系统是满足“耗散不等式”的动力系统，假设其状态、输入及输出分别为${\displaystyle x(t)}$、${\displaystyle u(t)}$及${\displaystyle y(t)}$。

假设一个函数${\displaystyle w=u\cdot <!--\; \cdot \; -->y}$，其针对任何输入${\displaystyle u}$及初始状态 ${\displaystyle x(0)}$，在任意有限时间内的积分都为有限值，将此函数称为供应率函数，则一个系统为耗散系统的条件是存在一个连续的非负函数${\displaystyle V(x)}$（称为储存函数），使得针对任意输入${\displaystyle u}$及初始状态 ${\displaystyle x(0)}$，以下的不等式（耗散不等式）都成立：

耗散系统的耗散不等式也可以表示为以下的形式：

物理的解释可将${\displaystyle V(x)}$视为是系统的能量，而${\displaystyle u\cdot <!--\; \cdot \; -->y}$是单位时间输入系统的能量。

此表示方式和李雅普诺夫稳定性有很强的关系，在系统有特定可控制性及可观察性的条件时，储存函数可以作为李雅普诺夫函数。

简单来说，耗散理论可以用来设计线性及非线性系统的回授控制。耗散系统理论是由V.M. Popov、J.C. Willems、D.J. Hill 及P. Moylan等学者提出。对于线性非时变系统，耗散系统即为正实转移函数，而且Kalman–Yakubovich–Popov引理可以联系正实系统的相空间及频域相关特性。由于耗散理论在应用上的重要性．其仍为系统及控制研究的热门领域之一。

量子力学及其他以哈密顿力学为基础的经典动态系统，具有时间可逆转性（英语：Time reversibility），其本质无法描述耗散系统。理论上可以将系统进行弱耦合，以谐振子为例，可以将许多处于热平衡，但频率各自不同的谐振子视为一个整体，整体有很宽的频谱，记录整体平均的情形。会得到一个主方程，是林德布劳德方程（英语：Lindblad equation）的特例，而林德布劳德方程可视为刘维尔定理的量子力学版本。