波包

在任意时刻，波包（wave packet）是局限在空间的某有限范围区域内的波动，在其他区域的部分非常微小，可以被忽略。波包整体随着时间流易移动于空间。波包可以分解为一组不同频率、波数、相位、波幅的正弦波，也可以从同样一组正弦波构成；在任意时刻，这些正弦波只会在空间的某有限范围区域相长干涉，在其它区域会相消干涉。:53-56:312-313描绘波包轮廓的曲线称为包络线。依据不同的演化方程，在传播的时候，波包的包络线（描绘波包轮廓的曲线）可能会保持不变（没有色散），或者包络线会改变（有色散）。在量子力学中，波包可以用来代表粒子，表示粒子的概率波；也就是说，表现于位置空间，波包在某时间、位置的波幅平方，就是找到粒子在那时间、位置的概率密度；在任意区域内，波包所囊括面积的绝对值平方，就是找到粒子处于那区域的概率。粒子的波包越狭窄，则粒子位置的不确定性越小，而动量的不确定性越大；反之亦然。这位置的不确定性和动量的不确定性，两者之间无可避免的关系，是不确定性原理的一个标准案例。:53-56描述粒子的波包满足薛定谔方程，是薛定谔方程的数学解。通过含时薛定谔方程，可以预测粒子随着时间演化的量子行为。这与在经典力学里的哈密顿表述很类似。:123早在十七世纪，艾萨克·牛顿就提出了光微粒说，即光是由很多离散的粒子所构成，其中每一个粒子都遵守牛顿运动定律。他的主要反对者罗伯特·胡克、克里斯蒂安·惠更斯则主张光波动说：光是一种传播于介质中的波动。十九世纪，物理学者发现，在许多实验中，光表现出波动行为。其中一个特别着名的实验是双缝实验，这是英国物理学者托马斯·杨于1801年完成的实验。从这实验观察到的干涉图样给予光微粒说严重打击，因为光微粒说无法说明这现象，而光波动说可以。很多物理学者因此改变立场，采纳了光波动说。在20世纪初，科学家发现经典力学存在着很多严峻问题，越来越多实验结果无法用经典理论来解释。到了1930年代，物理学者开始采纳波粒二象性，即物质具有波动性与粒子性。在这段时期，量子力学如火如荼的发展造成了理论方面的重大突破。许多困惑物理学者多年的实验结果，都能够得到圆满合理的解释。例如，1905年，阿尔伯特·爱因斯坦对光电效应的理论解析。按照爱因斯坦的理论解析，光的能量并非均匀分布，而是负载于离散的量子包，现称为光子。每个光子的能量 E {displaystyle E} 与频率 ν {displaystyle nu } 之间的关系为其中， h {displaystyle h} 是普朗克常数。在光电效应里，光子的频率必须超过被冲击金属的特征极限频率（对应于金属的逸出功），才能使金属表面的电子获得足够能量逃逸出来，否则，不论辐照率有多高，都无法使得电子从金属表面逃逸出来。二十世纪，量子力学持续地蓬勃发展。它所展现的绘景是一种粒子世界。在这粒子世界里，每一种物质都是由粒子形成，每一种现象都是由粒子彼此互相作用而产生；可是，这些粒子的量子行为都是用概率波来描述。所有的量子行为都被约化为这些概率波的演化。至今，量子世界的粒子性已被许多实验证实，波动现象可以被诠释为粒子的波包秉性的特征后果。举一个非色散传播范例，思考波动方程：其中， u {displaystyle u} 是波动函数， t {displaystyle t} 是时间， v {displaystyle v} 是波动在某介质里的传播速度。采用物理时间常规 e − i ω t {displaystyle e^{-iomega t}} ，波动方程的平面波解是其中， x {displaystyle mathbf {x} } 是位置矢量， k {displaystyle mathbf {k} } 是波数矢量， ω {displaystyle omega } 是角频率。为了满足平面波为波动方程的解，角频率和波数的色散关系为为了便于计算，只考虑波传播于一维空间，则波动方程的一般解是其中，方程右边的第一项表示往正 x {displaystyle x} 方向传播的波动，第二项表示往负 x {displaystyle x} 方向传播的波动。波包是在局部区域里一组波的叠加。假若，波包是强劲存在于局部区域，则需要更多的频率来达成局部区域内的相长叠加，与局部区域外的相消叠加。这样，从基本平面波解，一般的波包可以表示为其中，因子 1 / 2 π {displaystyle 1/{sqrt {2pi }}} 是由傅里叶变换的常规而设定，振幅 A ( k ) {displaystyle A(k)} 是线形叠加的系数函数。逆反过来，系数函数可以表达为其中， u ( x , 0 ) {displaystyle u(x,,0)} 是波包在初始时间 t = 0 {displaystyle t=0} 的函数形式。所以，知道波包在时间 t = 0 {displaystyle t=0} 的函数形式 u ( x , 0 ) {displaystyle u(x,,0)} ，应用傅里叶变换，可以计算出波包在任何时间的函数形式 u ( x , t ) {displaystyle u(x,,t)} 。例如，选择初始时间的函数形式为经过一番运算，可以得到这个波包的实值部分或虚值部分的非散色传播展示于前面动画。再举一个有色散传播例子，思考薛定谔方程，其色散关系为只考虑一维问题。经过一番运算，满足初始条件 u ( x , 0 ) = e − x 2 + i k 0 x {displaystyle u(x,,0)=e^{-x^{2}+ik_{0}x}} 的解是观察这波包的色散行为。取 u ( x , t ) {displaystyle u(x,,t)} 的绝对值，这色散波包传播的群速度是常数 k 0 {displaystyle k_{0}} 。波包的宽度跟时间有关，根据公式 ( 1 + 4 t 2 ) 1 / 2 {displaystyle (1+4t^{2})^{1/2}} 随着时间增加。