尼姆数

✍ dations ◷ 2025-10-22 15:00:04 #组合数学,有限域,博弈论,组合博弈论

组合博弈论引入了一类数学对象,称为尼姆数,它们被定义为尼姆堆的值。但是由于斯普莱格–格隆第定理,它们可以用于一大类游戏的研究。事实上,尼姆数是在序数的真类上赋予尼姆加法和尼姆乘法的运算之后形成的概念。这些运算和通常施行于序数类上的加法和乘法并不相同。

斯普莱格–格隆第定理指出:每个无偏博弈等价于一个特定大小的尼姆堆。尼姆数的加法运算(叫做尼姆加法)可以用于计算等价于多个堆的单一尼姆堆大小。这被定义为

对于一个序数的集合 S {\displaystyle S} mex ( S ) {\displaystyle \operatorname {mex} (S)} 定义为“局外最小序数”,也就是说不是 S {\displaystyle S} 的元素的最小一个序数。对于有限序数,尼姆和即是两个数进行异或运算的结果,这个结果也可以简单地通过将相加的各个数字的二进制表示逐位进行不进位的加法而得到(例如,100010+110010=10000)。

尼姆数的乘法运算(尼姆乘法)可以递归地定义如下:

全体尼姆数不能组成普通集合,而只是真类。要是把它当作普通集合,或者考虑其任意的一个对尼姆加法和乘法封闭的子集,那么尼姆数的类可以构成一个特征为2的代数封闭域。尼姆加法的单位元是序数0,而尼姆乘法的单位元则是序数1。由于特征为2, α {\displaystyle \alpha } 的尼姆加法逆元是 α {\displaystyle \alpha } 自身。非零序数 α {\displaystyle \alpha } 的尼姆乘法逆元是 mex ( S ) {\displaystyle \operatorname {mex} (S)} ,这里 S {\displaystyle S} 是满足以下条件的序数集合:

n {\displaystyle n} 是自然数,小于 2 2 n {\displaystyle 2^{2^{n}}} 的尼姆数组成一个 2 2 n {\displaystyle 2^{2^{n}}} 阶的有限域 G F ( 2 2 n ) {\displaystyle GF(2^{2^{n}})}

正如尼姆加法,有限序数的尼姆积也有一些有意思的结果:

尼姆数组成的最小代数封闭域是由小于 ω ω ω {\displaystyle \omega ^{\omega ^{\omega }}} 的序数构成的,这里ω是最小的无限序数。因此,作为尼姆数的 ω ω ω {\displaystyle \omega ^{\omega ^{\omega }}} 是尼姆数“域”上最小的超越数。

以下表格列出了最小16个尼姆数的加法和乘法表。因为16是一个费马幂(形如 2 2 n {\displaystyle 2^{2^{n}}} ),因此这个子集是封闭的。


相关

  • 太平省太平省(越南语:Tỉnh Thái Bình/.mw-parser-output .han-nom{font-family:"Nom Na Tong","Han-Nom Gothic","Han-Nom Ming","HAN NOM A","HAN NOM B","Ming-Lt-HKSCS-UNI-H",
  • 梭伦梭伦(希腊语:Σόλων,约前638年-前559年),生于古希腊城邦雅典,出身于没落的贵族,也有人认为他出生于中产阶级,是古代雅典的政治家、立法者、诗人,古希腊七贤之一。梭伦在前594年出
  • 安赛蜜Ace K乙酰磺胺酸钾(英语:Acesulfame potassium,又称为乙酰氨基磺酸钾、醋磺内酯钾,俗称为安赛蜜)是一种无卡路里的甜味剂。在欧盟,其E编码(添加剂编码)是E950。它是由德国化学家卡尔
  • 纽波特纽波特或新港(英语:Newport)是英国威尔士的第三大城,仅次于卡迪夫和斯旺西,位于威尔士东南,靠近英格兰。整个城市由阿斯克河(Usk)流经市中心。纽波特市区整体以低地为主,甚少山脉,尤以
  • 伦敦交通局伦敦交通局或称伦敦运输局(英语:Transport for London),缩写:TfL,是负责管理英国首都大伦敦区主要运输系统的地方政府机关,其主要角色是将运输政策或者计划付诸执行,并且管理在伦敦
  • 西哈萨克斯坦州西哈萨克斯坦州(哈萨克语:Батыс Қазақстан облысы)是哈萨克斯坦的一个州份,位于欧洲。北为俄罗斯,乌拉尔河在中部流过。面积151,300平方公里。人口606,700(20
  • 蓬巴尔蓬巴尔(葡萄牙语:Pombal)意为鸽舍(葡萄牙语:Pombal (edifício)),其亦可指: 葡萄牙 巴西
  • 天姚星天姚星是紫微斗数中的桃花星,又称太阴之星、招摇星,属癸水(阴水),主风流,卯酉戌亥为庙地。丑未为陷地。子辰申寅午巳为平和地。若有天姚入命,会有相当深度及修养、有机谋、谈吐好
  • 跳蹬河街道跳蹬河街道,是中华人民共和国四川省成都市成华区下辖的一个乡镇级行政单位。2019年12月,成华区调整部分街道行政区划,将原建设路街道建兴路社区所属行政区域划归跳蹬河街道管辖
  • 蒂滕湖坐标:47°50′50″N 12°34′5″E / 47.84722°N 12.56806°E / 47.84722; 12.56806蒂滕湖(德语:Tüttensee),是德国的湖泊,位于该国东南部,由巴伐利亚负责管辖,处于上巴伐利亚行政