伽玛函数

在数学中， Γ {displaystyle Gamma ,} 函数，也叫做伽玛函数（Gamma函数），是阶乘函数在实数与复数域上的扩展。如果 n {displaystyle n} 为正整数，则：对于实数部分为正的复数 z {displaystyle z} ，伽玛函数定义为：此定义可以用解析延拓原理，拓展到除去非正整数的整个复数域上。在概率论中常见此函数，在组合数学中也常见。Γ {displaystyle Gamma ,} 函数可以通过欧拉（Euler）第二类积分定义：对复数 z {displaystyle z,} ，我们要求 R e ( z ) > 0 {displaystyle mathrm {Re} (z)>0} 。Γ {displaystyle Gamma } 函数还可以通过对 e − t {displaystyle mathrm {e} ^{-t},} 做泰勒展开，解析延拓到整个复平面： Γ ( z ) = ∫ 1 ∞ t z − 1 e t d t + ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n n ! 1 n + z {displaystyle Gamma (z)=int _{1}^{infty }{frac {t^{z-1}}{mathrm {e} ^{t}}}{rm {d}}t+sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}}{n!}}{frac {1}{n+z}}}这样定义的 Γ {displaystyle Gamma } 函数在全平面除了 z = 0 , − 1 , − 2 , … {displaystyle z=0,-1,-2,ldots } 以外的地方解析。Γ {displaystyle Gamma } 函数也可以用无穷乘积的方式表示：这说明 Γ ( z ) {displaystyle Gamma (z)} 是亚纯函数，而 1 Γ ( z ) {displaystyle {frac {1}{Gamma (z)}}} 是全纯函数Γ {displaystyle Gamma ,} 函数可以用无穷乘积表示：其中 γ {displaystyle gamma ,} 是欧拉-马歇罗尼常数。⟹ Γ ( α ) λ α = ∫ 0 ∞ x α − 1 e − λ x d x {displaystyle implies {frac {Gamma left(alpha right)}{lambda ^{alpha }}}=int _{0}^{infty }x^{alpha -1}mathrm {e} ^{-lambda x}{rm {d}}x}Γ {displaystyle Gamma ,} 函数的递推公式为： Γ ( x + 1 ) = x Γ ( x ) {displaystyle Gamma (x+1)=xGamma (x)} ，对于正整数 n {displaystyle n,} ，有可以说 Γ {displaystyle Gamma ,} 函数是阶乘的推广。Γ ( n + 1 ) = ∫ 0 ∞ e − x x n + 1 − 1 d x = ∫ 0 ∞ e − x x n d x {displaystyle Gamma (n+1)=int _{0}^{infty }mathrm {e} ^{-x}x^{n+1-1}mathrm {d} x=int _{0}^{infty }mathrm {e} ^{-x}x^{n}{rm {d}}x}我们用分部积分法来计算这个积分：∫ 0 ∞ e − x x n d x = [ − x n e x ] 0 ∞ + n ∫ 0 ∞ e − x x n − 1 d x {displaystyle int _{0}^{infty }mathrm {e} ^{-x}x^{n}mathrm {d} x=left_{0}^{infty }+nint _{0}^{infty }mathrm {e} ^{-x}x^{n-1}{rm {d}}x}当 x = 0 {displaystyle x=0,} 时， − 0 n e 0 = 0 1 = 0 {displaystyle {tfrac {-0^{n}}{mathrm {e} ^{0}}}={tfrac {0}{1}}=0} 。当 x {displaystyle x,} 趋于无穷大时，根据洛必达法则，有：lim x → ∞ − x n e x = lim x → ∞ − n ! ⋅ 0 e x = 0 {displaystyle lim _{xrightarrow infty }{frac {-x^{n}}{mathrm {e} ^{x}}}=lim _{xrightarrow infty }{frac {-n!cdot 0}{mathrm {e} ^{x}}}=0} 。因此第一项 [ − x n e x ] 0 ∞ {displaystyle left_{0}^{infty }} 变成了零，所以：Γ ( n + 1 ) = n ∫ 0 ∞ x n − 1 e x d x {displaystyle Gamma (n+1)=nint _{0}^{infty }{frac {x^{n-1}}{mathrm {e} ^{x}}}{rm {d}}x}等式的右面正好是 n Γ ( n ) {displaystyle nGamma (n),} 。因此，递推公式为：此式可用来协助计算t分布概率密度函数、卡方分布概率密度函数、F分布概率密度函数等的累计概率。对任何实数α斯特灵公式能用以估计 Γ ( z ) {displaystyle Gamma (z)} 函数的增长速度。公式为：其中e约等于2.718281828459。对任何复数z，满足 Re(z) > 0，有于是，对任何正整数 m其中γ是欧拉-马歇罗尼常量。注意到在 Γ {displaystyle Gamma } 函数的积分定义中若取 z {displaystyle z,} 为实部大于零之复数、则积分存在，而且在右半复平面上定义一个全纯函数。利用函数方程并注意到函数 sin ⁡ ( π z ) {displaystyle sin(pi z),} 在整个复平面上有解析延拓，我们可以在 R e ( z ) < 1 {displaystyle mathrm {Re} (z)<1} 时设从而将 Γ {displaystyle Gamma ,} 函数延拓为整个复平面上的亚纯函数，它在 z = 0 , − 1 , − 2 , − 3 ⋯ {displaystyle z=0,-1,-2,-3cdots } 有单极点，留数为许多编程语言或表格软件有提供Γ函数或对数的Γ函数，例如EXCEL。而对数的Γ函数还要再取一次自然指数才能获得Γ函数值。例如在EXCEL中，可使用GAMMALN函数，再用EXP，即可求得任意实数的伽玛函数的值。而在没有提供Γ函数的程序环境中，也能够过泰勒级数或斯特灵公式等方式来近似，例如Robert H. Windschitl在2002年提出的方法，其在十进制可获得有效数字八位数的精确度，已足以填满单精度浮点数的二进制有效数字24位：