伽玛函数

✍ dations ◷ 2025-10-29 02:19:01 #伽玛函数
在数学中, Γ {displaystyle Gamma ,} 函数,也叫做伽玛函数(Gamma函数),是阶乘函数在实数与复数域上的扩展。如果 n {displaystyle n} 为正整数,则:对于实数部分为正的复数 z {displaystyle z} ,伽玛函数定义为:此定义可以用解析延拓原理,拓展到除去非正整数的整个复数域上。在概率论中常见此函数,在组合数学中也常见。Γ {displaystyle Gamma ,} 函数可以通过欧拉(Euler)第二类积分定义:对复数 z {displaystyle z,} ,我们要求 R e ( z ) > 0 {displaystyle mathrm {Re} (z)>0} 。Γ {displaystyle Gamma } 函数还可以通过对 e − t {displaystyle mathrm {e} ^{-t},} 做泰勒展开,解析延拓到整个复平面: Γ ( z ) = ∫ 1 ∞ t z − 1 e t d t + ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n n ! 1 n + z {displaystyle Gamma (z)=int _{1}^{infty }{frac {t^{z-1}}{mathrm {e} ^{t}}}{rm {d}}t+sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}}{n!}}{frac {1}{n+z}}}这样定义的 Γ {displaystyle Gamma } 函数在全平面除了 z = 0 , − 1 , − 2 , … {displaystyle z=0,-1,-2,ldots } 以外的地方解析。Γ {displaystyle Gamma } 函数也可以用无穷乘积的方式表示:这说明 Γ ( z ) {displaystyle Gamma (z)} 是亚纯函数,而 1 Γ ( z ) {displaystyle {frac {1}{Gamma (z)}}} 是全纯函数Γ {displaystyle Gamma ,} 函数可以用无穷乘积表示:其中 γ {displaystyle gamma ,} 是欧拉-马歇罗尼常数。⟹ Γ ( α ) λ α = ∫ 0 ∞ x α − 1 e − λ x d x {displaystyle implies {frac {Gamma left(alpha right)}{lambda ^{alpha }}}=int _{0}^{infty }x^{alpha -1}mathrm {e} ^{-lambda x}{rm {d}}x}Γ {displaystyle Gamma ,} 函数的递推公式为: Γ ( x + 1 ) = x Γ ( x ) {displaystyle Gamma (x+1)=xGamma (x)} ,对于正整数 n {displaystyle n,} ,有可以说 Γ {displaystyle Gamma ,} 函数是阶乘的推广。Γ ( n + 1 ) = ∫ 0 ∞ e − x x n + 1 − 1 d x = ∫ 0 ∞ e − x x n d x {displaystyle Gamma (n+1)=int _{0}^{infty }mathrm {e} ^{-x}x^{n+1-1}mathrm {d} x=int _{0}^{infty }mathrm {e} ^{-x}x^{n}{rm {d}}x}我们用分部积分法来计算这个积分:∫ 0 ∞ e − x x n d x = [ − x n e x ] 0 ∞ + n ∫ 0 ∞ e − x x n − 1 d x {displaystyle int _{0}^{infty }mathrm {e} ^{-x}x^{n}mathrm {d} x=left_{0}^{infty }+nint _{0}^{infty }mathrm {e} ^{-x}x^{n-1}{rm {d}}x}当 x = 0 {displaystyle x=0,} 时, − 0 n e 0 = 0 1 = 0 {displaystyle {tfrac {-0^{n}}{mathrm {e} ^{0}}}={tfrac {0}{1}}=0} 。当 x {displaystyle x,} 趋于无穷大时,根据洛必达法则,有:lim x → ∞ − x n e x = lim x → ∞ − n ! ⋅ 0 e x = 0 {displaystyle lim _{xrightarrow infty }{frac {-x^{n}}{mathrm {e} ^{x}}}=lim _{xrightarrow infty }{frac {-n!cdot 0}{mathrm {e} ^{x}}}=0} 。因此第一项 [ − x n e x ] 0 ∞ {displaystyle left_{0}^{infty }} 变成了零,所以:Γ ( n + 1 ) = n ∫ 0 ∞ x n − 1 e x d x {displaystyle Gamma (n+1)=nint _{0}^{infty }{frac {x^{n-1}}{mathrm {e} ^{x}}}{rm {d}}x}等式的右面正好是 n Γ ( n ) {displaystyle nGamma (n),} 。因此,递推公式为:此式可用来协助计算t分布概率密度函数、卡方分布概率密度函数、F分布概率密度函数等的累计概率。对任何实数α斯特灵公式能用以估计 Γ ( z ) {displaystyle Gamma (z)} 函数的增长速度。公式为:其中e约等于2.718281828459。对任何复数z,满足 Re(z) > 0,有于是,对任何正整数 m其中γ是欧拉-马歇罗尼常量。注意到在 Γ {displaystyle Gamma } 函数的积分定义中若取 z {displaystyle z,} 为实部大于零之复数、则积分存在,而且在右半复平面上定义一个全纯函数。利用函数方程并注意到函数 sin ⁡ ( π z ) {displaystyle sin(pi z),} 在整个复平面上有解析延拓,我们可以在 R e ( z ) < 1 {displaystyle mathrm {Re} (z)<1} 时设从而将 Γ {displaystyle Gamma ,} 函数延拓为整个复平面上的亚纯函数,它在 z = 0 , − 1 , − 2 , − 3 ⋯ {displaystyle z=0,-1,-2,-3cdots } 有单极点,留数为许多编程语言或表格软件有提供Γ函数或对数的Γ函数,例如EXCEL。而对数的Γ函数还要再取一次自然指数才能获得Γ函数值。例如在EXCEL中,可使用GAMMALN函数,再用EXP,即可求得任意实数的伽玛函数的值。而在没有提供Γ函数的程序环境中,也能够过泰勒级数或斯特灵公式等方式来近似,例如Robert H. Windschitl在2002年提出的方法,其在十进制可获得有效数字八位数的精确度,已足以填满单精度浮点数的二进制有效数字24位:

相关

  • 精神活性物质精神药物(英语:psychoactive drug),又称精神药品(psychopharmaceutical,或psychotropic)。有些精神药品具有医疗和科学价值。一种化学物质的概称,这些物质能够穿越血脑屏障,直接作用
  • 军事工程军事工程(Military engineering)可以大致定义为设计及建立军事设施及设备,维持军事运输及通讯的艺术、工程及实务。军事工程也要负责军事战术的后勤。现代的军事工程和土木工程
  • 55S核糖体线粒体核糖体是存在于真核细胞线粒体内的一种核糖体,负责完成线粒体这种细胞器中进行的翻译过程。线粒体核糖体的沉降系数介干55S-56S之间,是已发现的沉降系数最小的核糖体。
  • 国民议会国民议会(英语:National Assembly、法语:Assemblée nationale),是在法国大革命时期,由1789年6月13日,到1789年7月9日,是由1789年法国三级会议的第三等级代表(老百姓)组成的革命性的集
  • 萨马拉萨马拉州(俄语:Самарская область,罗马化:Samarskaya oblast)是俄罗斯联邦主体之一,属伏尔加联邦管区。位于东欧平原东南部,伏尔加河在西部流过。面积53,600平方公
  • 不当预设的谬误不当预设的谬误(Fallacies of Inappropriate Presumption)是把语境中不应视为理所当然的前提视为理所当然,而发生的推理谬误,属实质谬误。
  • 粉防己碱粉防己碱是一种双苄基异喹啉生物碱,是一种钙通道阻滞剂。具有抗炎,免疫和抗过敏作用,抑制肥大细胞的脱粒。 它具有“类奎尼丁”的抗心律失常作用。已可从粉防己和其他中草药中
  • Federal Ministry of the Interior (Germany)德国联邦内政部(德语:Bundesministerium des Innern,简称BMI)是德国联邦政府的部委之一,主办公室位于柏林,另在波恩设有第二办公区。内政部的职责是维护国内安全与宪政秩序、保护
  • 赋形剂赋形剂(英语:excipient)为药物中附着于有效成分的天然或合成物质:1,主要在于提升药物中有效成分的作用(所以又称为增量剂、稀释剂等),或在药物最终剂型中促进溶解、吸收以增强有效
  • 文旅部中华人民共和国文化和旅游部,是中华人民共和国国务院主管文化和旅游业工作的组成部门。文化和旅游部主要负责贯彻落实中国共产党的宣传文化工作方针政策,研究拟订文化和旅游工