拓扑空间

拓扑空间（英语：Topological space）是一种数学结构，可以在上头形式化地定义出如收敛、连通、连续等概念。拓扑空间在现代数学的各个分支都有应用，是一个居于中心地位的、统一性的概念。拓扑空间有独立研究的价值，研究拓扑空间的数学分支称为拓扑学。

拓扑空间是一个集合 ${\displaystyle X}$ 和其上定义的拓扑结构${\displaystyle \mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}$组成的二元组${\displaystyle (X,\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})}$。${\displaystyle X}$ 的元素 ${\displaystyle x}$ 通常称为拓扑空间 ${\displaystyle (X,\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})}$的点。而拓扑结构${\displaystyle \mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}$一词涵盖了开集，闭集，邻域，开核，闭包，导集，滤子等若干概念。从这些概念出发，可以给拓扑空间${\displaystyle (X,\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})}$作出若干种等价的定义。在教科书中最常见的定义是从开集开始的。 

 ${\displaystyle X}$ 的子集的集合族${\displaystyle \mathfrak{O}}$称为开集系（其中的元素称为开集），当且仅当其满足如下开集公理：

从开集出发定义其它各概念：

${\displaystyle X}$的子集的集合族${\displaystyle \mathfrak{F}}$称为闭集系（其中的元素称为闭集），当且仅当其满足如下闭集公理：

（显然，闭集是开集的对偶概念）。

从闭集出发定义其它各概念：

${\displaystyle X}$的映射${\displaystyle \mathfrak{U}:X\to <!--\; \to \; -->P(P(X))}$（${\displaystyle P(P(X))}$指${\displaystyle X}$的幂集的幂集）。这样${\displaystyle \mathfrak{U}}$将${\displaystyle X}$的每个点${\displaystyle x}$映射至${\displaystyle X}$的子集族${\displaystyle \mathfrak{U}(x)}$。${\displaystyle \mathfrak{U}(x)}$称为${\displaystyle x}$的邻域系（${\displaystyle \mathfrak{U}(x)}$的元素称为${\displaystyle x}$的邻域），当且仅当对任意的${\displaystyle x\in <!--\; \in \; -->X}$，${\displaystyle \mathfrak{U}(x)}$满足如下邻域公理：

从邻域出发定义其它概念：

${\displaystyle X}$的幂集${\displaystyle P(X)}$上的一元运算${\displaystyle c:P(X)\to <!--\; \to \; -->P(X)}$（即将${\displaystyle X}$的子集A映射为${\displaystyle X}$的子集${\displaystyle c(A)}$）称为闭包运算（像称为原像的闭包）。当且仅当运算${\displaystyle c}$满足下述的闭包公理：

集合${\displaystyle A}$的闭包通常记为${\displaystyle \stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{A}}$。

从闭包出发定义其它概念：

${\displaystyle X}$的幂集${\displaystyle P(X)}$上的一元运算${\displaystyle o:P(X)\to <!--\; \to \; -->P(X)}$（即将${\displaystyle X}$的子集A映射为${\displaystyle X}$的子集${\displaystyle o(A)}$）称为开核运算（像称为原像的开核或内部）。当且仅当运算${\displaystyle o}$满足如下开核公理：

集合${\displaystyle A}$的开核通常记为${\displaystyle A^{\circ <!--\; \circ \; -->}}$。（显然，开核运算是闭包运算的对偶概念）。

从开核出发定义其它概念：

${\displaystyle X}$的幂集${\displaystyle \mathcal{P}(X)}$上的一元运算${\displaystyle d:\mathcal{P}(X)\to <!--\; \to \; -->\mathcal{P}(X)}$（即将${\displaystyle X}$的子集${\displaystyle A}$映射为${\displaystyle X}$的子集${\displaystyle d(A)}$）称为导集运算（像称为原像的导集），当且仅当${\displaystyle d}$满足以下导集公理：

从导集出发定义其它概念：

同一个全集可以拥有不同的拓扑，有些是有用的，有些是平庸的，这些拓扑之间可以形成一种偏序关系。当拓扑${\displaystyle {\mathfrak{T}}_1}$的每一个开集都是拓扑${\displaystyle {\mathfrak{T}}_2}$的开集时，称拓扑${\displaystyle {\mathfrak{T}}_2}$比拓扑${\displaystyle {\mathfrak{T}}_1}$更细，或称拓扑${\displaystyle {\mathfrak{T}}_1}$比拓扑${\displaystyle {\mathfrak{T}}_2}$更粗。

仅依赖于特定开集的存在而成立的结论，在更细的拓扑上依然成立；类似的，仅依赖于特定集合不是开集而成立的结论，在更粗的拓扑上也依然成立。

最粗的拓扑是由空集和全集两个元素构成的拓扑，最细的拓扑是离散拓扑，这两个拓扑都是平庸的。

在有些文献中，我们也用大小或者强弱来表示这里粗细的概念。

类似定义拓扑空间，连续映射也有基于开集，闭集，开核，闭包和邻域等概念的等价定义。

拓扑空间上的一个映射${\displaystyle f}$称为连续映射，当且仅当它满足以下条件之一：

同胚映射是一个连续的双射，并且它的逆映射也连续。两个拓扑空间之间存在同胚映射，则称这两个空间是同胚的。从拓扑学的观点上来讲，同胚的空间是等同的。

拓扑空间作为对象，连续映射作为态射，构成了拓扑空间范畴，它是数学中的一个基础性的范畴。试图通过不变量来对这个范畴进行分类的想法，激发和产生了整个领域的研究工作，包括同伦论、同调论和K-理论。

给定拓扑空间(X,τ)，A是X的子集，有以下概念（继续使用上面的符号）：

网的目的在推广序列及极限，网的收性称作Moore-Smith收敛。其关键在于以有向集合代替自然数集${\displaystyle \mathbb{N}}$。

空间${\displaystyle X}$上的一个网${\displaystyle (x_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{)}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\in <!--\; \in \; -->A}}$是从有向集合${\displaystyle A}$映至${\displaystyle X}$的映射。

若存在${\displaystyle x\in <!--\; \in \; -->X}$，使得对每个${\displaystyle x}$的邻域${\displaystyle U}$都存在${\displaystyle \mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\in <!--\; \in \; -->A}$，使得${\displaystyle \mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\ge <!--\; \ge \; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->x_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\in <!--\; \in \; -->U}$，则称网${\displaystyle (x_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{)}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\in <!--\; \in \; -->A}}$收敛至${\displaystyle x}$。

几乎所有点集拓扑学的基本概念都能表述作网的收敛性，请参阅主条目网

3点集 X={a,b,c}的拓扑总共有29个,可分为九类，具体如下：

依据点和集合分离的程度、大小、连通程度、紧性等。可以对拓扑空间进行各种各样的分类。并且由于这些分类产生了许多不同的术语。

以下假设X为一个拓扑空间。

详细资料请参照分离公理以及相关条码。有些术语在老的文献中采用了不同地定义方式，请参照分离公理的历史。

（详细资料请参照紧集）

可度量性意味着可赋予空间一个度量，使之给出该空间的拓扑。目前已有许多版本的度量化定理，其中最著名的是Urysohn度量化定理：一个第二可数的正则豪斯多夫空间可被度量化。由此可导出任何第二可数的流形皆可度量化。

对于任一类代数结构，我们都可以考虑其上的拓扑结构，并要求相关的代数运算是连续映射。例如，一个拓扑群${\displaystyle G}$乃是一个拓扑空间配上连续映射${\displaystyle m:G\times <!--\; \times \; -->G\to <!--\; \to \; -->G}$（群乘法）及${\displaystyle i:G\to <!--\; \to \; -->G}$（逆元），使之具备群结构。

同样地，可定义拓扑向量空间为一个赋有拓扑结构的向量空间，使得加法与纯量乘法是连续映射，这是泛函分析的主题；我们可以类似地定义拓扑环、拓扑域等等。

结合拓扑与代数结构，往往可以引出相当丰富而实用的理论，例如微分几何探究的主齐性空间。在代数数论及代数几何中，人们也常定义适当的拓扑结构以简化理论，并得到较简明的陈述；如数论中的局部域（一种拓扑域），伽罗瓦理论中考虑的Krull拓扑（一种特别的拓扑群），以及定义形式概形所不可少的I-进拓扑（一种拓扑环）等等。

拓扑空间也可能拥有自然的序结构，例子包括：

参见拓扑学。

n个元素的集上总拓扑数规律

邻域  · 内部  · 边界  · 外部  · 极限点  · 孤点