p-群

✍ dations ◷ 2025-11-24 11:46:37 #群论

在数学里，给定一质数，-群即是指一个其每个元素都有的次方阶的周期群。亦即，对每个群内的元素，都存在一个正整数使得的次方等于其单位元素。

若是有限的，则其会和自身的阶为的次方之叙述相等价。关于有限-群的结构已知道了许多，其中第一个使用类方程的标准结论为一个非当然有限-群的中心不可能为一个当然子群。一个阶的-群会包含着阶的子群，其中0 ≤ ≤ 。更一般性地，每一个有限-群都会是幂零群，且因此都会是可解群。

有相同阶的-群不一定会互相同构；例如，循环群₄和克莱因四元群都是4阶的2-群，但两者并不同构。一个-群不一定要是阿贝尔群；如8阶的二面体群即为一个非可换2-群。（但每个2阶的群都会是可换的。）

以趋进的观点来看，几乎所有的有限群都会是-群。实际上，几乎所有的有限群都是2-群：2-群的同构类与其阶至多为之群的同构类的比例在当趋进于无限大时会趋进于1。例如，其阶至多为2000的所有不同的群会有99%为1024阶的2-群。

每一个非当然有限群都会包括一个为非当然-群之子群。详述请见西洛定理。

无限群的例子，见普吕弗群。

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