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德卡斯特里奥算法

✍ dations ◷ 2025-10-19 23:37:58 #算法,数值分析,样条

数学子领域数值分析中的德卡斯特里奥算法（英语：De Casteljau's algorithm），以发明者保尔·德·卡斯特里奥命名，是计算伯恩斯坦形式的多项式或贝塞尔曲线的递归方法。

虽然对于大部分的体系结构，该算法和直接方法相比较慢，但它在数值上更为稳定。

贝兹曲线（角度为，控制点 $\beta _{0},\ldots ,\beta _{n}$ 为伯恩施坦基本多项式（英语：Bernstein polynomial）

曲线在₀点上可以用递推关系式运算

然后， $B {\displaystyle B}$ ₀来计算波恩斯坦多项式时，我们可以用三角形形式的两个对角线来构造多项式的分段表示。

把它变成

以及

我们要计算2次波恩斯坦多项式，其伯恩斯坦系数为

在₀点计算。

我们有下式开始递归

递归的第二次重复结束于

这就是我们所预料的n阶伯恩斯坦多项式。

在计算带+1个控制点P的三维空间中的次贝塞尔曲线 (Bézier curve) 时

其中

我们把Bézier曲线分成三个分立的方程

然后我们用de Casteljau算法分别计算。

这是一个递归的画出一条从点到，弯向和的曲线的伪代码例子。参数是递归的次数。该过程用增加了的参数来递归的调用它自己。当达到这个全局变量时，在和之间就画上直线。函数去两个点，并返回这两点间的线段的中点。

    global max_level = 5    procedure draw_curve(P1, P2, P3, P4, level)        if (level > max_level)            draw_line(P1, P4)        else            L1 = P1            L2 = midpoint(P1, P2)            H  = midpoint(P2, P3)            R3 = midpoint(P3, P4)            R4 = P4            L3 = midpoint(L2, H)            R2 = midpoint(R3, H)            L4 = midpoint(L3, R2)            R1 = L4            draw_curve(L1, L2, L3, L4, level + 1)            draw_curve(R1, R2, R3, R4, level + 1)    end procedure draw_curve

代码实现

Haskell

用线性插值计算P和Q之间的一点R，插值参数为t用法：linearInterp P Q t          P = 代表一个点的表          Q = 代表一个点的表          t = 线性插值的参数值, t<-返回：代表点（1-t）P + tQ的表>	linearInterp :: ->->Float->>	linearInterp   _ = >	linearInterp (p:ps) (q:qs) t = (1-t)*p + t*q : linearInterp ps qs t计算一对控制点间的线性插值的中间结果用法：eval t b          t = 线性插值的参数值, t<-          b = 控制点的表返回：对n个控制点，返回n-1个插值点的表>	eval :: Float->]->]>	eval t（bi:bj:）= >	eval t (bi:bj:bs) = (linearInterp bi bj t) : eval t (bj:bs)用de Casteljau算法计算Bezier曲线上一点用法：deCas t b          t = 线性插值的参数值, t<-          b = 控制点的表返回：代表Bezier曲线上一个点的列表>	deCas :: Float->]->>	deCas t（bi:）= bi>	deCas t bs = deCas t (eval t bs)用de Casteljau算法计算沿着Bezier曲线的一系列点。点用一个列表返回。用法：bezierCurve n b         n = 要计算的点的个数         b = Bezier控制点列表返回：Bezier曲线上n＋1个点例子：bezierCurve 50 <nowiki>，，，]</nowiki>>	bezierCurve :: Int->]->]>	bezierCurve n b =  ]

Python

（该代码用到）

德卡斯特里奥算法

代码实现

Haskell

Python

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