伪多边形

✍ dations ◷ 2025-04-03 17:04:22 #多边形,双曲几何,双曲面镶嵌

在几何学中,伪多边形(英语:pseudogon)又称为超无限边形,是一种位于双曲平面上的无限边形,具有伪多边形群(英语:Coxeter_notation#Rank two groups)(pseudogonal group)的对称性,诺曼·约翰逊(英语:Norman Johnson (mathematician))将一般的发散镜射形式的无限边形称为伪多边形,其外接圆为极限圆,正伪多边形在施莱夫利符号中用{iπ/λ}表示,其中λ表示发散垂直镜射的周期距离,用来表示其拓扑结构具有比无限边形更多的边与顶点,换句话说,若其不为发散镜射形式则只能看做为普通的无限边形,也因此伪多边形无法在平面上存在。此外,伪多边形也可以解释为未完全具备多边形性质的多边形,此种情况下未必需要位于双曲面,这种伪多边形其英文也可以写为pseudo polygon。

正伪多边形(英语:regular pseudogon)又称双曲正无限边形,是一种具有考克斯特群的罗氏无限边形,依据其考克斯特群,其边数和顶点数将会是iπ/λ个,事实上它顶点数为正无穷大,边长为λ,其中iπ/λ用来表示超平形(ultraparallel)的镜射,虚数值使镜射变换的角度以一个双曲线的形式,而存在等式cos(π/n) = cos(πλ/(iπ)) = cosh(2λ),而λ∈{ π/n | n∈Z }。

其亦可以视为二维空间的双曲密铺,和三维双曲密铺如:正七边形镶嵌、七阶三角形镶嵌等,做类比。其属于非紧凑空间。

正伪多边形无法在平面上存在,但可以构造在双曲面。其可以拥有外接圆和内切圆,但他们必须是双曲超圆形。

扭歪伪多边形(英语:Skew pseudogon)是伪多边形对应的扭歪多边形,即位于非紧双曲空间的双曲扭歪无限边形。

正伪多边形不能构成平面镶嵌,但可以构成双曲镶嵌,如三阶伪多边形镶嵌,其考克斯特记号计为CDel node 1.pngCDel ultra.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png。该镶嵌可以视为伪多边形在三维空间的类比,称为伪多面体(pseudohedron)。

二个伪多边形即可完全镶嵌整个双曲平面,称为二阶伪多边形镶嵌。

伪多面体(pseudohedron)是伪多边形在三维空间的类比,即在三维非紧双曲空间中的无限面体,又称为超无限面体。例如三阶七边形镶嵌蜂巢体中的正七边形镶嵌,由于要使每个顶点都是3个正七边形镶嵌的公共顶点使得图形被变换到非紧双曲空间中,即几何中心跑到庞加莱模型外,其外接球为三维双曲极限球。

伪多胞体(pseudotope)则为非紧双曲镶嵌在四维或更高维度类比,例如四阶一百二十胞体堆砌(英语:Order-4 120-cell honeycomb)。

但严格来说,伪多胞形(pseudotope)只会在二维双曲空间讨论,由于二维的考克斯特群表达到无穷之后仍为平面,因此只能用双曲径社的方式以虚数表达双曲几何图形。

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