交叉项

在线性代数中，若二次型（quadratic form）中的项并非平方项，也就是说包含超过一个变量，这个项被称为交叉项（cross-term）。

在信号处理领域中，交叉项通常指的是该项包含了两个以上的元素（信号），与之相对的则是自身项（auto-term），自身项中只包含一个元素。

通常在进行时频分析时，我们都会希望尽量避免交叉项的产生，因为交叉项会使得多个信号叠加的时频分布的图形变得难以解读，不同信号之间也会难以分离。

令 ${\displaystyle x,y\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{R}}^n}$ ， ${\displaystyle n}$ 是自然数 ，假设我们要展开 ${\displaystyle (x+y{)}^T(x+y)}$ ，则经过计算可以得到：

其中 ${\displaystyle ||x|{|}^2}$ 和 ${\displaystyle ||y|{|}^2}$ 都属于自身项，因为它们分别只包含了一个变量；${\displaystyle 2(x\cdot <!--\; \cdot \; -->y)}$ 则是交叉项，因为它包含了 ${\displaystyle x}$ 和 ${\displaystyle y}$ 两个元素。

韦格纳分布的定义如下：

${\displaystyle W_x(t,f)={\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}x(t+\frac{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}{2})x^{\ast <!--\; \ast \; -->}(t-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}{2})e^{-<!--\; -\; -->j2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}f}\cdot <!--\; \cdot \; -->d\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}$

其中 ${\displaystyle x}$ 代表原始信号、${\displaystyle t}$ 是变换后的时间轴坐标、${\displaystyle f}$ 是变换后的频率轴坐标。若我们设 ${\displaystyle x(t)=\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}g(t)+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}s(t)}$，并将韦格纳分布的公式展开如下：

其中 ${\displaystyle W_g}$ 和 ${\displaystyle W_s}$ 就是自身项，剩下的积分项就是交叉项。