置换的奇偶性

在数学中，当是一个至少有两个元素的有限集合时，的置换（即从到的双射）可分为大小相同的两类：奇置换与偶置换。如果固定了任何一个全序，的一个置换${\displaystyle \mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}$中二元组${\displaystyle x,y}$的交错特征。置换的符号另一个更一般的符号为列维-奇维塔符号（${\displaystyle {\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}}$到的所有映射上，而在非双射映射上取值为0。

置换的符号可以清晰地表达为

这里${\displaystyle N(\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->})}$是分解中对换的个数。尽管这样一个分解不是惟一的，所有分解中对换个数的奇偶性是相同的，蕴含着置换的符号是良定义的。

考虑集合{1,2,3,4,5}的置换σ，它将初始排列12345变为34521。可以通过三个对换得到：首先交换1和3的位置，然后交换2和4，最后交换1和5。这证明了给定的置换σ是奇的。利用置换一文中的记号，我们可写成}的所有置换之对称群，我们可总结为映射

将每个置换映为其符号是一个群同态。

进一步，我们见到偶置换组成的一个子群。这就是个字母上的交错群，记作。它是符号同态的核。奇置换不能组成一个子群，因为两个奇置换的复合是偶置换，但它们是（在中）的一个陪集。

如果>1，则中偶置换与奇置换一样多；从而包含!/2个置换。（原因：如果σ是偶的，则 (12)σ是奇的；如果σ是奇的，则 (12)σ是偶的；这两个映射互逆。）

一个轮换是偶的当且仅当它的长度是奇的。这得自如下类似公式

特别地，为了确定给定的置换是偶的还是奇的，将它写成不交轮换的乘积。这个置换是奇的当且仅当这个分解包含奇数个偶长度的轮换。

每个奇数阶置换必须是偶的；反之一般不成立。

任意置换可以由一列对换产生：对第一个对换我们将置换的第一个元素放到它恰当的位置，第二个对换放第二个元素，等等。给定一个置换σ，我们可用无数种方式将其写成对换之积。我们要证明所有这样一个分解，要么都有偶数个对换，要么有奇数个对换。

假设我们有两个这样的分解：

我们要证明k'与m'要么都是偶的，要么都是奇的。

每个对换可以写成奇数个相邻元素的对换之乘积，例如

如果我们将上面的T'1...T'k'与Q'1...Q'm'中每个对换作这样的分解，我们得到一个新的分解：

这里所有1... 1...是相邻对换， − '是偶数， − '是偶数。

现在将T1的逆与σ复合。1是两个相邻数 (,  + 1)的对换，所以与σ相比，新置换σ(,  + 1)恰好少一个（若 (, + 1)是σ的反向对）或多一个反向对（若 (, + 1)不是σ的反向对）。然后以相同的方法应用到2, 3, ... 的逆，“消解”了置换σ。最后我们得到了恒同置换，它的是零，这意味着首先的(σ)减去是偶数。

对另一个置换1...我们对同样的事情，从而首先的(σ)减去m是偶数

这样 − 是偶数，这就是我们要证明的。

现在我们可以定义置换σ是偶的，如果(σ)是偶数；是奇的，如果(σ)是奇数。这与首先给出的定义相同，但现在清晰地看到每个置换不是偶的就是奇的。

另一个证明利用多项式

例如在 = 3的情形，我们有

现在对{1,...,}的一个给定置换σ，我们定义

因为多项式${\displaystyle P(x_{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}(1)},\dots <!--\; \dots \; -->,x_{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}(n)})}$一个呈示，使用生成元为${\displaystyle {\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_1,\dots <!--\; \dots \; -->,{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_{n-<!--\; -\; -->1}}$,  + 1)。所有的关系将一个词的长度保持或改变2。从一个偶数长词开始使用这些关系后总得到偶数长词，对奇数长词也类似。从而可以毫无歧义地称中由偶数长词表示的元素是偶的，由奇数长词表示的元素是奇的。