逆变换采样

✍ dations ◷ 2024-09-20 08:53:59 #蒙地卡罗方法

逆变换采样（英语：inverse transform sampling），又称为逆万流归宗（inversion sampling）、逆概率积分变换（inverse probability integral transform）、逆变换法（inverse transformation method）、斯米尔诺夫变换（Smirnov transform）、黄金法则（golden rule）等，是伪随机数采样（英语：Pseudo-random number sampling）的一种基本方法。在已知任意概率分布的累积分布函数时，可用于从该分布中生成随机样本。

假设 $X {\displaystyle X}$ $X$ 为一个连续随机变量，其累积分布函数为 $F_{X}$ $F_{X}$ 。此时，随机变量 $Y=F_{X}(X)$ $Y=F_{X}(X)$ 服从区间上的均匀分布。逆变换采样即是将该过程反过来进行：首先对于随机变量 $Y {\displaystyle Y}$ $Y$ ，我们从0至1中随机均匀抽取一个数 $u {\displaystyle u}$ $u$ 。之后，由于随机变量 $F_{X}^{-1}(Y)$ $F_{X}^{-1}(Y)$ 与 $X {\displaystyle X}$ $X$ 有着相同的分布， $x=F_{X}^{-1}(u)$ $x=F_{X}^{-1}(u)$ 即可看作是从分布 $F_{X}$ $F_{X}$ 中生成的随机样本。

假设有一个累积分布函数

我们要从该分布中生成随机样本。 $F(x)$ $F(x)$ 的反函数为：

于是，我们先从0至1中随机均匀抽取 $u {\displaystyle u}$ $u$ ，然后计算 $F^{-1}(u)=(\log(1-u))^{2}$ $F^{-1}(u)=(\log(1-u))^{2}$ 以得到我们需要的样本。

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