绝热不变量

绝热不变量，又称浸渐不变量或缓渐不变量，是指一个物理系统中，经过一个缓慢的变化而几乎保持不变的物理量，比如理想气体在绝热过程中的熵。这可以理解为，物理系统从一个状态向另一个状态过渡时，假如这个过程的持续时间趋向于无穷大，那么绝热不变量的变化就趋向于零。

浸渐不变量有一种错误的写法是寝渐不变量。出现这种错误的原因是繁体“浸”的一种字体是“寖”，和“寝”很像。

在热力学中，绝热过程是一个隔绝系统与外界热交换的过程，可快可慢。如果一个热力学过程发生得非常缓慢，以至于比体系达到平衡还要慢，那么这个过程就是可逆的，也被称为准静态过程。在可逆的绝热过程中，系统时刻保持平衡，而且系统的熵是定值。在20世纪上半叶，量子物理学家用“绝热过程”来描述可逆的绝热过程和其他缓慢变化的过程。这种量子力学的定义更接近于热力学中的准静态过程，与绝热过程没有直接关系。

在力学里面，绝热变化是哈密顿函数的缓慢变化，其中能量的相对变化速度要远远缓于周期运动的频率。相空间内，周期运动轨道所围成的体积就是绝热不变量。

在量子力学中，绝热变化的变化率远远低于本征态间的频率差。在这种情况下系统的能级不会变化，所以系统的量子数是绝热不变量。

在旧量子论中，系统的量子数等于经典的绝热不变量。这就确定了玻尔-索末菲量子化条件：量子数等于相空间内运动轨道所围成的体积。

在等离子体物理学中，绝热不变量有三个μ、J、Φ，每个都与不同类型的周期性运动相对应。

在热力学中，可逆绝热过程是熵不会增加的过程。在这种情况下，所有的变化发生得比较缓慢，使得系统时刻保持平衡，而且只允许相同温度的子系统间发生热交换。对于孤立系统，绝热过程不允许热量流入或者流出。

如果一个装有理想气体的容器在瞬间膨胀，那么其中气体的温度不会改变，因为气体分子并不会改变速度。此时分子平均动能不变，然而气体的体积却增加了。然而，如果容器膨胀得比较缓慢，使得理想气体压强定律时刻适用，那么气体分子的动能会不断减少，而且减少的动能用来向膨胀的容器壁做功。功的数值是压强乘上容器壁面积再乘上向外的位移，也就是压强乘上气体体积增加量：

如果气体没有吸热，那么气体的内能会减少相同的大小。根据定义，理想气体的内能只是分子平均能量的函数，而与体积无关，所以

其中${\displaystyle C_v}$是每个分子的定容热容。当气体内能的变化完全是由于对容器壁做功而引起，那么温度的变化量由下式给出：

这就得到了温度和体积变化关系的微分方程，这样就可以积分得到不变量。常数${\displaystyle k_B}$是玻耳兹曼常数，通过采用自然单位制，我们可以视其为1：

因此

是一个绝热不变量。它和理想气体的熵${\displaystyle S}$有关：

所以，理想气体的熵也是个绝热不变量。${\displaystyle N\log <!--\; \; -->N}$项使得熵具有可加性，成为广延量，故两团理想气体的熵就是它们各自的熵相加。

在微观表述下，一个拥有${\displaystyle 3-<!--\; -\; -->N}$个粒子的系统，${\displaystyle S}$是${\displaystyle 3-<!--\; -\; -->N}$维相空间里所有满足能量为${\displaystyle E(T)}$和体积为${\displaystyle V}$的状态数的对数。

对于一团单原子的理想气体，这很容易算出来。我们先写出系统的能量：

满足总能量为${\displaystyle E}$的各种粒子的状态在相空间内确定了一个球面。这个球面是一个${\displaystyle 3-<!--\; -\; -->N}$维的，半径为${\displaystyle \sqrt{2mE}}$的球的表面。这个球的体积是

其中${\displaystyle \mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}$是伽马函数。

由于每个气体分子都可以在体积${\displaystyle V}$内部的任意位置存在，所以相空间内总能量为${\displaystyle E}$的气体状态占有的体积是

由于${\displaystyle N}$个气体分子是全同的，所以相空间内战友的体积要除以${\displaystyle N!=\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(N+1)}$，也就是${\displaystyle N}$个粒子的全排列。

对伽马函数应用斯特林公式，忽略当${\displaystyle N}$趋于无限时的有限常数项，

由于单原子理想气体的定容热容是$\frac{{\displaystyle 3}}{2}$，我们可以看到这和热力学导出的熵函数是一样的。

对于一盒处于热力学平衡的热辐射，在忽略量子力学效应的情况下，其中的经典电磁场的能量是无穷大的，因为能量均分原理要求每一种频率的辐射都有相同大小的能量，然而热辐射的频率由无穷多种。这在物理上是荒谬的，因为这就意味着所有的能量都会以高频电磁波耗散。

然而，即使忽略量子力学，我们还是可以单单从热力学中导出一些关于热力学平衡分布的性质，因为绝热不变量可以推广到体积可变的光子气体上。

当光子气体的体积缓慢增大，因为碰壁而被反射的光的频率可以通过多普勒频移得出。当容器壁静止，则光反射时不改变频率。当容器壁缓慢移动，则仅仅在与容器壁固连的参考系中，反射光的频率才不会变。当容器壁向外移动，那么反射光会发生红移，频率的改变量${\displaystyle \mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}f}$由下式给出：

同时，光的能量也会因体积膨胀而减少，因为光压对容器壁做正功。由于光被反射，光压等于两倍的光动量，也就是$\frac{{\displaystyle 2E}}{c}$。光压做功功率等于光压乘上速度：

综合上述两式，我们发现光的频率的改变量和能量的改变量成比例关系：

由于光子气体的缓慢膨胀会保持热力学分布不变，那么我们可以得出，能量为${\displaystyle E}$的光刚好具有频率${\displaystyle f}$的概率一定是$\frac{{\displaystyle E}}{f}$的函数。

这个分布函数无法仅仅从热力学推导出来，不过维恩猜测了一种在高频率的情况下成立的分布函数形式。他假设分布函数有一个玻尔兹曼因子。这并不符合经典热力学，因为在经典热力学的情况下这个因子是${\displaystyle \frac{1}{2}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}=\frac{1}{2}{k}_{B}T}$（由能量均分原理导出），然而此时维恩以一个新的，未经证实的却符合高频范围实验数据的假设因子取代之：

当所有空腔内的频率的能量的期望值相加，我们便得到了维恩分布。这是一种描述经典光子气体的热力学分布。维恩定律蕴含了光是一份份，也就是量子化地传递能量的假设。维恩的光子气体的熵正比于体积的${\displaystyle N}$次方，其中${\displaystyle N}$是光的“份”数。这启发了爱因斯坦提出光量子的假说，其中光量子的能量正比于其频率。这样，光子气体的熵就具有了统计学意义，也就是光子在容器内可能存在的位置数。

假设哈密顿函数缓慢变化。比如，一个频率可变的一维谐振子：

这个经典周期运动的作用量${\displaystyle J}$是相空间内运动轨道围成的体积：

由于${\displaystyle J}$是一个完整周期的积分，所以${\displaystyle J}$只是能量的函数。当哈密顿函数不随时间改变，即${\displaystyle J}$是常数，正则共轭坐标${\displaystyle \mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}$就会随时间线性增大。

所以在求作用量${\displaystyle J}$时，在周期运动路径上的对时间${\displaystyle t}$的积分，可以用常数${\displaystyle H{}^{\prime }}$来转换为对${\displaystyle \mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}$的积分。将${\displaystyle J}$的积分式对${\displaystyle J}$求导，可以得到一个固定了${\displaystyle H{}^{\prime }}$的恒等式：

被积函数是${\displaystyle x}$和${\displaystyle p}$的泊松括号。对于两个正则共轭量，比如${\displaystyle x}$和${\displaystyle p}$，在任何正则坐标系内都恒等于1。所以

于是${\displaystyle H{}^{\prime }}$就是周期的倒数。${\displaystyle \mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}$对于所有的${\displaystyle J}$，都是一个随时间线性增大的变量。${\displaystyle \mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}$是一个角度变量。

哈密顿函数仅仅是作用量${\displaystyle J}$的函数，对于最简单的谐振子，

当${\displaystyle H}$不随时间变化，${\displaystyle J}$就是个常数。当${\displaystyle H}$缓慢地随时间变化，${\displaystyle J}$的变化率可以通过重写${\displaystyle J}$的积分表达式得到：

该式对时间的导数是

接下来我们把时间的微分用角度${\displaystyle \mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}$的微分表示。应用${\displaystyle d\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}=\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}dt}$并设${\displaystyle \mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}:=1}$以不失一般性，我们就能得到

只要${\displaystyle J}$和${\displaystyle \mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}$在每一个周期里都变化不大，上式都可以分部积分，从而等于0。这说明缓慢变化中，作用量的变化量的一阶小量等于0。

这就是绝热不变量定理：作用量是绝热不变量。

对于一个谐振子，当能量为${\displaystyle E}$时，作用量${\displaystyle J}$，也就是相空间内沿着周期运动路径围成的面积，是一个椭圆的面积。这个椭圆代表能量${\displaystyle E}$：

椭圆的半长轴是${\displaystyle \sqrt{2E/{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^{2}m}}$，半短轴是${\displaystyle \sqrt{2mE}}$。得到作用量${\displaystyle J=2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}E/\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}$。所以假如一个单摆被缓慢收紧，其频率会变化，而能量也会以相同比例变化。

当普朗克发现可以通过向热辐射添加经典的能量均分原理，而将维恩定律推广到所有频率，甚至低频的时候，物理学家们想了解其他系统的量子化行为。普朗克辐射定律定量地指出，电磁场的能量是以一小份为单位的，每一份正比于电磁场的频率：

从绝热不变量可以推出每一个量子之与能量和频率的商有关，而且由于能量必须具有可加性，那么每一个能级的宽度必须是相等的。

爱因斯坦以及其后的德拜，通过考虑以量子化的振子来描述固体中声波传播的机制，发展了量子力学。这个模型解释了当温度非常低的时候，固体的热容不遵守经典能量均分原理${\displaystyle 3k_B}$，而趋于0的原因。

在索尔维会议上，量子化其他物理学的问题被提了出来。洛伦兹指出了一个问题。考虑一个量子化的，摆长非常缓慢减小的单摆，其量子数是无法改变的，因为不存在一个足够高的频率以实现两种状态的过渡。然而事实上单摆的频率随着摆线变短而改变，所以量子态的能量也会改变。

爱因斯坦解释说，对于缓慢的摆线收紧，单摆的频率和能量都会变化，但比值保持不变。与其很相似的是，维恩观察到在缓慢增大一个热辐射腔的体积的时候，热辐射的能量和频率的比值是定值（参看本页面热力学部分）。最后的结论是，量子化的对象必须是绝热不变量。

这场讨论被索末菲发展到了一个更一般的理论：任何一个力学系统的量子数都是由绝热不变量给出。由于谐振子的的作用量是一个整数，那么一般化的量子化条件是：

这个量子化条件是旧量子论的基石，可以定性预测原子系统的行为。这个理论对于量子数比较小的系统并不精确，因为这个理论糅合了经典和量子力学。不过，这是向新量子论迈出的重要一步。

μ是旋转粒子的磁矩，定义为：

磁矩μ在时间和空间变化的磁场B中均恒定，因此它满足绝热不变量的定义条件，对应于拉莫尔回转这一周期性运动。

运动积分计算如下：

在${\displaystyle \frac{m}{\left|q\right|}}$不变的情况下，磁矩μ为运动常数。这是在假定${\displaystyle \frac{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}{{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_c}\ll <!--\; \ll \; -->1}$的情况下；在以${\displaystyle \frac{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}{{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_c}}$为参量的展开式中，不论展开到哪一阶，磁矩μ均恒定。在一次拉莫尔回转的回转周期内，磁矩μ的变化远远小于磁场B的变化。

${\displaystyle \frac{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}{{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_c}\ge <!--\; \ge \; -->1}$时，μ非绝热不变量，常见的例子有以下三种：

两个磁镜间，被俘获的一个粒子，以反跳频率做周期运动。这一周期性运动所对应的绝热不变量称为纵向不变量，通常记作J，定义如下：

比如，在地磁场所产生的磁镜中，大量粒子被捕获，这些粒子绕地球在径向上缓慢漂移，这一过程发生在电离层中。而且，尽管地磁场在太阳风的作用下并不对称，粒子们仍然会回到同一条磁力线上。

在渡越时间磁抽运（transit-time magnetic pumping）的情形中，等离子体被加热，磁场的变化的时间小于反跳时间，因而J不守恒，也即J非绝热不变量。

对应于导向中心环绕地球的粒子缓慢漂移这一周期性运动，存在第三种绝热不变量，即漂移表面所包围的总磁通量Φ。但由于地磁场B的涨落比起这一漂移来，要迅速的多，因而这一不变量基本上没有什么应用性可言。

在激发电离层磁流体波时，粒子在环绕地球漂移一周时能碰到同一相位的波，如果相位恰当，波可以从粒子获得能量而被激发，此时，Φ非绝热不变量