平行六面体

在几何学中，平行六面体是由六个平行四边形所组成的三维立体，是一种平行多面体。它与平行四边形的关系，正如正方体与正方形之间的关系；在欧几里得几何中这四个概念都允许，但在仿射几何中只允许平行四边形和平行六面体。平行六面体的三个等价的定义为：长方体（六个面都是长方形）、正方体（六个面都是正方形），以及菱面体（六个面都是菱形）都是平行六面体的特殊情况。平行六面体是拟柱体的一个子类。平行六面体可由正方体经线性变换而成。用相同的平行六面体，可以镶嵌整个空间。平行六面体的体积是底面 A {displaystyle A} 与高 h {displaystyle h} 的乘积，即这里的高是底面与对面的垂直距离。另外一个方法是用向量 a = ( a 1 , a 2 , a 3 ) {displaystyle mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3})} ， b = ( b 1 , b 2 , b 3 ) {displaystyle mathbf {b} =(b_{1},b_{2},b_{3})} ，以及 c = ( c 1 , c 2 , c 3 ) {displaystyle mathbf {c} =(c_{1},c_{2},c_{3})} 来表示相交于一点的三条棱。平行六面体的体积 V {displaystyle V} 等于标量三重积：证明：以 b {displaystyle mathbf {b} } 和 c {displaystyle mathbf {c} } 来表示底面的边，则根据向量积的定义，底面的面积 A {displaystyle A} 为：其中 θ {displaystyle theta } 是 b {displaystyle mathbf {b} } 与 c {displaystyle mathbf {c} } 之间的角，而高为：其中 α {displaystyle alpha } 是 a {displaystyle mathbf {a} } 与 h {displaystyle h} 之间的角。从图中我们可以看到， α {displaystyle alpha } 的大小限定为 0 ∘ ≤ α < 90 ∘ {displaystyle 0^{circ }leq alpha <90^{circ }} 。而向量 b × c {displaystyle mathbf {b} times mathbf {c} } 与 a {displaystyle mathbf {a} } 之间的角 β {displaystyle beta } 则有可能大于90°（ 0 ∘ ≤ β < 180 ∘ {displaystyle 0^{circ }leq beta <180^{circ }} ）。也就是说，由于 b × c {displaystyle mathbf {b} times mathbf {c} } 与 h {displaystyle h} 平行， β {displaystyle beta } 的值要么等于 α {displaystyle alpha } ，要么等于 180 ∘ − α {displaystyle 180^{circ }-alpha } 。因此：且我们得出结论：于是，根据标量积的定义，它等于 a ⋅ ( b × c ) {displaystyle mathbf {a} cdot (mathbf {b} times mathbf {c} )} 的绝对值，即：证毕。最后一个表达式也可以写成以下行列式的绝对值：若 a {displaystyle a} 、 b {displaystyle b} 及 c {displaystyle c} 是三条两两相邻的棱长，且 α {displaystyle alpha } 、 β {displaystyle beta } 及 γ {displaystyle gamma } 是三条棱边的夹角，则平行六面体的体积为：证明从上面可知，平行六面体的体积可表示为：其中：因此依行列式及标量积定义展开公式右手边，即可得上述公式。选取任意一顶点 ( x 1 , y 1 , z 1 ) {displaystyle (x_{1},y_{1},z_{1})} 以其相邻三个顶点 ( x 2 , y 2 , z 2 ) {displaystyle (x_{2},y_{2},z_{2})} 、 ( x 3 , y 3 , z 3 ) {displaystyle (x_{3},y_{3},z_{3})} 及 ( x 4 , y 4 , z 4 ) {displaystyle (x_{4},y_{4},z_{4})} ，则体积可表示为：如果平行六面体具有对称平面，则一定是以下两种情况之一：长方体是六个面都是长方形的平行六面体；正方体是六个面都是正方形的平行六面体。菱面体是六个面都是菱形的平行六面体；三方偏方面体是所有菱形面都全等的菱面体。完美平行六面体指棱长、面对角线和体对角线都是整数的平行六面体。在2009年，发现了数十个完美平行六面体的例子，包括棱长271、106及103，劣面对角线长101、 266及255，优面角线长183、 312及323,以及体对角线长374、 300、 278及272的平行六面体。平行六面体在高维空间的推广称为超平行体。特别地，n维空间中的超平行体称为n维超平行体。因此，平行四边形就是2维超平行体，平行六面体就是3维超平行体。n维超平行体的所有对角线相交于一点，并被这个点所平分。位于 R m {displaystyle mathbb {R} ^{m}} 空间中的n维超平行体的n维体积（ m ≥ n {displaystyle mgeq n} ），可以用格拉姆行列式的方法来计算。