李群胚

在数学中，李群胚（Lie groupoid）是满足如下条件的群胚：对象集合 ${\displaystyle Ob}$ 是一个光滑流形而 ${\displaystyle \{U_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\}}$ 的开覆盖。定义不交并 ${\displaystyle G_0:=\underset{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{⨆<!--\; ⨆\; -->}{U}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}}$ 的结构定义态射集合 ${\displaystyle G_1:=\underset{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->},\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{⨆<!--\; ⨆\; -->}{U}_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}}$ 的子集，乘法是显然的（${\displaystyle U_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}}$ 中相同，也在 ${\displaystyle U_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}}$ 在 下的平凡群胚。这便是什么为森田态射。

为了得到等价关系的概念，我们需要这个构造具有对称性与传递性。在这种意义下，我们说两个群胚 ${\displaystyle G_1\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->G_0}$ 到 与 到 的两个森田态射。传递性是群胚主丛范畴中有趣的构造。

在这里问题出现：在森田等价下什么是不变的。有两个显然的东西，一个是群胚的粗糙商／轨道空间 ${\displaystyle G_0/G_1=H_0/H_1}$，另一个是 ${\displaystyle p\in <!--\; \in \; -->G_0}$ 与 ${\displaystyle q\in <!--\; \in \; -->H_0}$ 中对应点的稳定群。

更进一步的问题是粗糙商空间的是怎么到一个光滑栈这个概念的。我们可以期望粗糙商是光滑流形，比如如果稳定群是平凡的（切赫群胚的例子便是）。但如果稳定群变了，我们便不能再指望得到光滑流形。解决方案是回到问题然后定义：

一个光滑栈是李群胚的一个森田等价类。栈上自然的几何对象是李群胚在森田等价下不变的几何对象。作为一个例子是考虑李群胚的上同调。