严谨 (数学)

✍ dations ◷ 2025-04-04 11:29:10 #数学术语

数学上,严谨不同于生活中的严谨,它指数学系统尤指公理系统的完备性和相容性。

完备性指公理数量不多不少正好可以推理出这门学科的全部结论;自洽性指公理系统内不存在悖论(即既是真又是假的命题)。比如仿射几何加上平行公设就成为欧几里得几何,或者加上第五公设的反命题就成为非欧几何之一,但后两者并不满足完备性要求,只有仿射几何学才是欧几里得几何类中的完备系统。一致性与哥德尔不完备定理并不矛盾,前者断言不存在既真又假的命题,而后者断言存在既不可证明又不可证伪的命题,就好比第五公设之于欧几里得几何,连续统假设之于公理化集合论,选择公理之于策梅洛-弗兰克尔集合论。

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