伯努利微分方程

✍ dations ◷ 2025-11-21 16:06:42 #微分方程

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伯努利微分方程是形式如 $y'+P(x)y=Q(x)y^{n}\,$ $y'+P(x)y=Q(x)y^{n}\,$ 的常微分方程。

代入 $w={y^{1-n}}\,$ $w={y^{{1-n}}}\,$ （注意 $w'={\frac {(1-n)}{y^{n}}}y'$ $w'={\frac {(1-n)}{y^{{n}}}}y'$ ）：

此一阶常微分方程可用积分因子求解。

解以下微分方程。

两边除以 $y^{2}$ $y^{2}$ ，得：

利用分离变数法，可得：

它可以用积分因子的方法来解出。

两边乘以 $M(x)$ $M(x)$ ，得：

等式的左边是 $wx^{2}$ $wx^{2}$ 的导数。两边积分，得：

于是：

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