伯努利微分方程

✍ dations ◷ 2025-10-22 07:58:25 #微分方程

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伯努利微分方程是形式如 y + P ( x ) y = Q ( x ) y n {\displaystyle y'+P(x)y=Q(x)y^{n}\,} 的常微分方程。

代入 w = y 1 n {\displaystyle w={y^{1-n}}\,} (注意 w = ( 1 n ) y n y {\displaystyle w'={\frac {(1-n)}{y^{n}}}y'} ):

此一阶常微分方程可用积分因子求解。

解以下微分方程。

两边除以 y 2 {\displaystyle y^{2}} ,得:

利用分离变数法,可得:

它可以用积分因子的方法来解出。

两边乘以 M ( x ) {\displaystyle M(x)} ,得:

等式的左边是 w x 2 {\displaystyle wx^{2}} 的导数。两边积分,得:

于是:

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