滤波问题

✍ dations ◷ 2025-04-04 11:25:12 #控制理论

在随机过程理论中的滤波问题(Filtering problem)是指针对信号处理及相关领域中,许多状态估测问题的数学模型。大致概念是从不完整的、可能包括噪声的观测值中,建立有关系统真实值的“最佳估测”。最佳非线性滤波问题(甚至也包括非平稳过程问题)由Ruslan L. Stratonovich(英语:Ruslan L. Stratonovich)(1959年、1960年)找到解答,在Harold J. Kushner(英语:Harold J. Kushner)的研究及Moshe Zakai(英语:Moshe Zakai)的研究中也有提到,Zakai建立了滤波器在条件几率未归一情况下的简化动态模型,称为Zakai方程(英语:Zakai equation)。不过一般情形下的解是无限维的。

目前已针对一些近似以及一些特定条件有深入的研究。例如在高斯随机变数的假设下,最佳解是线性滤波器,也称为维纳滤波及卡尔曼滤波。更一般的情形下,其解为无限维度,为了在有限内存的电脑中计算,需要进行有限维度的近似,有限维的近似型非线性滤波器(英语:nonlinear filter)比较会以启发为基础,例如扩展型卡尔曼滤波器(英语:Extended Kalman Filter)或是假定密度滤波器(Assumed Density Filters),也有更方法论导向的作法,例如Projection Filters,其中有些子系列恰好和假定密度滤波器相同。

一般来说,若可以适用分离原理,这些滤波器也可以成为最优控制问题解的一部分。例如在LQG控制最佳控制问题中,其估测部分的解就是卡尔曼滤波。

考虑概率空间 (Ω, Σ, P),并且假设在维度欧几里得空间 R的系统,其在时间的(随机)状态为随机变量  : Ω → R,可以由以下形式伊藤清随机微分方程的解来求得

其中是标准维布朗运动, : ,也就是说

因此

这个基本结果是滤波理论中,广义Fujisaki-Kallianpur-Kunita方程的基础。

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