滤波问题

✍ dations ◷ 2025-06-08 11:15:35 #控制理论

在随机过程理论中的滤波问题（Filtering problem）是指针对信号处理及相关领域中，许多状态估测问题的数学模型。大致概念是从不完整的、可能包括噪声的观测值中，建立有关系统真实值的“最佳估测”。最佳非线性滤波问题（甚至也包括非平稳过程问题）由Ruslan L. Stratonovich（英语：Ruslan L. Stratonovich）（1959年、1960年）找到解答，在Harold J. Kushner（英语：Harold J. Kushner）的研究及Moshe Zakai（英语：Moshe Zakai）的研究中也有提到，Zakai建立了滤波器在条件几率未归一情况下的简化动态模型，称为Zakai方程（英语：Zakai equation）。不过一般情形下的解是无限维的。

目前已针对一些近似以及一些特定条件有深入的研究。例如在高斯随机变数的假设下，最佳解是线性滤波器，也称为维纳滤波及卡尔曼滤波。更一般的情形下，其解为无限维度，为了在有限内存的电脑中计算，需要进行有限维度的近似，有限维的近似型非线性滤波器（英语：nonlinear filter）比较会以启发为基础，例如扩展型卡尔曼滤波器（英语：Extended Kalman Filter）或是假定密度滤波器（Assumed Density Filters），也有更方法论导向的作法，例如Projection Filters，其中有些子系列恰好和假定密度滤波器相同。

一般来说，若可以适用分离原理，这些滤波器也可以成为最优控制问题解的一部分。例如在LQG控制最佳控制问题中，其估测部分的解就是卡尔曼滤波。

考虑概率空间 (Ω, Σ, P)，并且假设在维度欧几里得空间 R的系统，其在时间的（随机）状态为随机变量 : Ω → R，可以由以下形式伊藤清随机微分方程的解来求得

其中是标准维布朗运动， : ，也就是说

因此

这个基本结果是滤波理论中，广义Fujisaki-Kallianpur-Kunita方程的基础。

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