卡诺定理 (热力学)

卡诺定理是热力学中的一个定理，说明热机的最大热效率只和其高温热源和低温热源的温度有关。此定理以尼古拉·卡诺为名。

根据卡诺定理，则

依卡诺定理可得到一热机的最大热效率${\displaystyle \mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}$（也称作卡诺效率）为

其中

上式的热效率是指热机产生的功和高温热源提供能量的比值。

上述定律其实是热力学第二定律的结果。不过当初在推导此定律时是以热质说为基础，且以此定律为基础建立热力学第二定律。

此定理可用以下的方式，针对不可逆热机及可逆热机的情形进行证明

假设一不可逆热机，其热源为${\displaystyle T_1}$及${\displaystyle T_2}$，其热效率为${\displaystyle \mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}$，此热机和一个效率为${\displaystyle \mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}$的逆卡诺热机，依右图的方式组合成一个热力学循环，不可逆热机产生的功为逆卡诺热机的工作来源。

若${\displaystyle \mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}=\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}$，则此热力学循环对系统没有任何影响，与不可逆性矛盾，因此不成立。

若${\displaystyle \mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}>\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}$，则此热力学循环可由低温热源${\displaystyle T_2}$取出

的能量，将此能量释放到高温热源${\displaystyle T_1}$，且不引起其他变化，违反热力学第二定律，也无法成立。

因此结论为，不可逆热机的效率${\displaystyle \mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}$较卡诺热机的效率${\displaystyle \mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}$低。

对于可逆热机的例子，可依类似的方式得到${\displaystyle \mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}⩽<!--\; ⩽\; -->\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}$的结果。

若用待测的可逆热机当成逆热机，和一般的卡诺热机形成一个热力学循环，也可得到${\displaystyle \mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}⩽<!--\; ⩽\; -->\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}$的结果。

由于上述二式需同时成立，可得以下的式子

有关卡诺定理是否能应用在燃料电池，至今科学家还没有达成共识。凯斯西储大学的教授认为“由于燃料电池中的电化学反应不涉及将热能转换为机械能，因此不受卡诺定理的限制”。不过K. T. Jacob及Saurabh Jain则认为“传统的观点认为燃料电池不受卡诺定理的限制，不过最近几篇论文都认为热力学第二定律不但限制热机的效率，也以同样方式限制燃料电池的效率”