调和分析

✍ dations ◷ 2025-08-08 14:18:49 #调和分析

调和分析（Harmonic analysis）也称为谐波分析，是数学中的一个分支，是由基本波的叠加来表示其他函数或是信号，并且研究及扩展傅里叶级数及傅里叶变换（也是傅里叶分析的扩展）。自十九世纪以来，调和分析已用在许多的领域中，像是信号处理、量子力学、潮汐理论（英语：Theory of tides）及神经科学。Rn以下的经典傅里叶变换目前仍然是一个正在研究的领域，特别是将傅里叶变换应用在一些较广义的概念下，例如缓增广义函数（tempered distribution）。例如若在某一分布f上加上一些条件，也会试图将此条件转换到f的傅里叶变换上。培力-威纳定理（英语：Paley–Wiener theorem）即为此例。培力-威纳定理指出若f是一个紧支撑下的非零分布（这里包括紧支撑下的函数），则其傅里叶变换一定不会是紧支撑。这是调和分析下不确定性原理的一个基本形式。调和分析中的调和（harmonic，或称为谐波）起源自古希腊文harmonikos，意思是“有音乐上的技巧”。在物理的特征值问题中，开始用harmonic一词表示某些特定的波，其频率是其他波频率的整数倍，就像泛音列的频率是第一泛音的整数倍一様，后来这个词也渐渐扩展，超过原来的意思。傅里叶级数也常用希尔伯特空间的方式来进行研究，因此调和分析和泛函分析也有一些关系。

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