首页 >
爱因斯坦模型
✍ dations ◷ 2025-08-13 19:01:15 #爱因斯坦模型
爱因斯坦模型是一种固体模型,基于三种假设::131-132第一个假设是相当准确的,而第二个假设则不是。如果原子真的不互相作用,那么声波就不会在固体内传播。原先的理论是由爱因斯坦在1907年提出的,具有很大的历史相关性。由杜隆-珀蒂定律所预言的固体的热容已经知道是与经典力学一致的。然而,低温下的实验观察表明,热容在绝对零度时趋于零,在高温时单调增加到杜隆-珀蒂定律的预言。利用普朗克的量子化假设,爱因斯坦第一次能够预言所观察到的实验趋势。与光电效应在一起,这成为需要量子化的最重要的证据之一(值得注意的是,爱因斯坦是在现代量子力学的出现的许多年之前解决了量子谐振子问题)。尽管它成功了,但是爱因斯坦却错误预言为指数趋近于零,而正确的表现则是遵守
T
3
{displaystyle T^{3}}
幂定律。这个缺陷后来由德拜模型在1912年纠正。:389ff恒定体积V的物体的热容,通过内能U定义为:T
{displaystyle T}
是系统的温度,可以从熵求出:为了求出熵,考虑由
N
{displaystyle N}
个原子所组成的固体,每一个原子都有3个自由度。因此,总共有
3
N
{displaystyle 3N}
个量子谐振子(以下称SHO)。SHO的可能的能量为:或者说,能级是均匀分隔的,我们可以定义能量的量子:它是SHO的能量可以增长的最小的,也是唯一的数量。接着,我们必须计算系统的多重性。也就是说,计算有多少种方法把
q
{displaystyle q}
个能量量子分布在
N
′
{displaystyle N^{prime }}
个SHO。我们可以想象把
q
{displaystyle q}
个石头分布在
N
′
{displaystyle N^{prime }}
个盒子中:或把一堆石头分成
N
′
−
1
{displaystyle N^{prime }-1}
份:或把
q
{displaystyle q}
个石头和
N
′
−
1
{displaystyle N^{prime }-1}
个划分排成一行:最后一个图最能说明问题。把
n
{displaystyle n}
样东西排成一行,有
n
!
{displaystyle n!}
种方法。因此,把
q
{displaystyle q}
个石头和
N
′
−
1
{displaystyle N^{prime }-1}
个划分排成一行的方法有
(
q
+
N
′
−
1
)
!
{displaystyle left(q+N^{prime }-1right)!}
种,然而,如果把第2个划分和第5个划分互换位置,是没有任何不同的。相同的理由对量子也成立。为了得出可能的不可区分的排列方法,我们必须把排列的总数除以不可区分的排列的数目。一共有
q
!
{displaystyle q!}
种相同的量子排列,以及
(
N
′
−
1
)
!
{displaystyle (N^{prime }-1)!}
种相同的划分排列。因此,系统的多重性为:正如上面所提及的,这就是把
q
{displaystyle q}
个能量量子放在
N
′
−
1
{displaystyle N^{prime }-1}
个谐振子中的方法数目。系统的熵具有下列形式:N
′
{displaystyle N^{prime }}
是一个很大的数,把它减去一总体上没有任何影响:利用斯特灵公式的帮助,熵可以简化:固体的总能量为:我们现在来计算温度:把这个公式两边取倒数,以求出U:两边关于温度求导,以求出
C
V
{displaystyle C_{V}}
:或虽然固体的爱因斯坦模型准确预言高温时的热容,在低温时与实验值仍有明显的差距。关于低温时准确的热容计算,参见德拜模型。热容可以通过利用SHO的正则配分函数来获得。其中把该式代入配分函数的公式,得:这是一个SHO的配分函数。因为,统计上来说,固体的热容、能量,以及熵,都是在它的原子(SHO)中均匀分布的,因此我们可以利用这个配分函数来获得这些物理量,然后直接把它们乘以
N
′
{displaystyle N^{prime }}
以得出总量。接着,我们来计算每一个谐振子的平均能量:其中因此:于是,一个谐振子的热容为:整个固体的热容由
C
V
=
3
N
C
V
{displaystyle C_{V}=3NC_{V}}
给出:它与前面推导的公式是相等的。物理量
T
E
=
ε
/
k
{displaystyle T_{E}=varepsilon /k}
的量纲是温度,是晶体的一个特有的性质。它称为“爱因斯坦温度”。因此,爱因斯坦晶体模型预言晶体的能量和热容是无量纲比率
T
/
T
E
{displaystyle T/T_{E}}
的通用函数。类似地,德拜模型预言了比率
T
/
T
D
{displaystyle T/T_{D}}
的通用函数。
相关
- MM00-M25 关节病M30-M36 全身性结缔组织疾患M40-M54 背部病M60-M79 软组织疾患M80-M94 骨病和软骨病M95-M99 肌肉骨骼系统和结缔组织的其他疾患
- Right右束支传导阻滞(Right bundle branch block,简称RBBB)是一类心脏电传导系统阻滞疾病(英语:heart block)。乃肇因于心脏的右束支传导阻断,进而造成电讯号无法经由此途径传入右心室,而
- 皮亚诺朱塞佩·皮亚诺 Giuseppe Peano(1858年8月27日-1932年4月20日)是意大利数学家、逻辑学家、语言学家。朱塞佩·皮亚诺于1858年8月27日生于意大利的库内奥(Cuneo)附近的斯宾尼塔(Spi
- 统计统计学是在数据分析的基础上,研究测定、收集、整理、归纳和分析反映数据数据,以便给出正确消息的科学。这一门学科自17世纪中叶产生并逐步发展起来,它广泛地应用在各门学科,从自
- 脱衣舞娘脱衣舞娘指的是一种职业的艳舞舞者,一般以表演脱衣舞为主。并不是所有的脱衣舞娘在表演末尾会褪去所有衣物,但在一般仍以全裸为主。到1970年代为止,西方的脱衣舞界以女性为多,男
- 联结主义联结主义是认知科学领域的一种方法,期望能够以人工神经网络 (ANN)来解释心灵现象。联结主义的中心原则是使用,简单且经常一致的单元互联网络,来描述心理现象。不同模型的联结及单
- 魔数幻数(英语:Magic Number),又称魔数,是指原子核中质子数和中子数的某个特定数值。当质子数或中子数为幻数,或者二者取值均为幻数时,原子核会显示出较高的稳定性。目前已经确认的幻数
- 发电厂发电厂(英语:Power station、Generating station、Power plant、Powerhouse),又称发电站或电厂,是将热能或动能转换为电能的设施,属于电力系统一环。根据原动机的不同来分类有:其中
- 爱德华·诺顿·劳仑次爱德华·诺顿·罗伦兹(英语:Edward Norton Lorenz,1917年5月23日-2008年4月16日),美国数学与气象学家。洛伦茨1917年出生于美国康乃迪克州西哈特福特(英语:West Hartford),大学时期同
- 炖炖是一种加汤汁慢煮的烹调方法。炖一般是先加调味蔬菜(中餐用葱姜,西餐用洋葱等)炒,然后加主料略炒,再加大量的清汤(水)和调味品,盖盖在小火上慢慢煮到酥烂。主料因地区和菜肴不同,可