克鲁尔维数

在交换代数中，一个环的克鲁尔维数定义为素理想链的最大长度。此概念依学数家 Wolfgang Krull（1899年-1971年）命名。

设交换环 ${\displaystyle R}$ 中有 ${\displaystyle n+1}$ 个素理想 ${\displaystyle P_0,\dots <!--\; \dots \; -->,P_n}$，使得

则称之为长度为 ${\displaystyle n}$ 的素理想链，一个无法插入新的素理想的链被称作极大的。${\displaystyle R}$ 的克鲁尔维数定义为素理想链的最大可能长度，这也等于是 ${\displaystyle R}$ 中素理想的最大可能高度。

根据定义， ${\displaystyle R}$ 的维数与对素理想的局部化有下述关系

其中 ${\displaystyle \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}R}$ 表 ${\displaystyle R}$ 的所有素理想所成集合。我们也可以仅考虑为极大理想的 ${\displaystyle \mathfrak{p}}$。当 ${\displaystyle R}$ 为链环时，对各极大理想的局部化皆有相同维数；代数几何处理的交换环通常都是链环。

例如在环 ${\displaystyle (\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})}$ 中可考虑以下的素理想链

因此 ${\displaystyle \dim <!--\; \; -->(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})\ge <!--\; \ge \; -->3}$；事实上可证明其维数确实为 3。以下是克鲁尔维数的几个一般性质：

在代数几何中，一个概形的维数被定义为各局部环的克鲁尔维数的上确界；对于仿射概形 ${\displaystyle X=\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}A}$，则回归到 ${\displaystyle \dim <!--\; \; -->X=\dim <!--\; \; -->A}$。

设 ${\displaystyle k}$ 为域，${\displaystyle R}$ 是有限型 ${\displaystyle k}$-整代数，这是代数几何中的主要案例。根据诺特正规化引理，存在非负整数 ${\displaystyle d}$ 及 ${\displaystyle R}$ 中彼此代数独立的元素 ${\displaystyle x_1,\dots <!--\; \dots \; -->,x_d}$ ，使得 ${\displaystyle R}$ 是有限生成之 ${\displaystyle k}$-模，因此 ${\displaystyle \dim <!--\; \; -->R=d}$。从几何观点看，${\displaystyle \mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}R}$ 此时是 ${\displaystyle {\mathbb{A}}_k^d}$ 的有限分歧覆盖，因而克鲁尔维数确实合乎下述几何直观：

特别是当 ${\displaystyle k=\mathbb{C}}$ 时，代数簇的克鲁尔维数等于复几何中定义的维数。