克喇末-克勒尼希关系

克喇末-克勒尼希关系式（英语：Kramers–Kronig relations）是数学上连系复面上半可析函数实数部和虚数部的公式。此关系式常用于物理系统的线性反应函数。物理上因果关系（系统反应必须在施力之后）意味着反应函数必须符合复面上半的可析性。反之，反应函数的可析性意味着相应物理系统的因果性。此关系式以拉尔夫·克勒尼希和汉斯·克喇末为名。

给定一复数变数${\displaystyle \mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}$的复值函数${\displaystyle \mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})={\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_1(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})+i{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_2(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})}$，其中${\displaystyle {\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_1}$和${\displaystyle {\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_2}$是实值函数。假设此函数${\displaystyle \mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})}$在复数平面上半部可析，且当${\displaystyle |\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}|}$趋向无限大时，它在上半平面趋于零的速度比${\displaystyle 1/|\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}|}$快或与之相等，那么${\displaystyle \mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})}$满足以下关系：

和

其中${\displaystyle \mathcal{P}}$表示柯西主值。因此可析函数的实部和虚部并不独立：函数的一部分可以重建整个函数。

推导克喇末-克勒尼希关系式是留数定理的基本应用。对任何复面上半可析函数${\displaystyle \mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}({\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}})}$和实数${\displaystyle \mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}$函数${\displaystyle \frac{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}({\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}})}{{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}-<!--\; -\; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}}$在复面上半可析。留数定理得到对任何在复面上半的积分路径：

选用实轴上的路径、跳过任何实轴上极点、再以复面上半圆完成。把积分分解成三部分。其中半圆部分长度和${\displaystyle |\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}|}$成正比，因此只要${\displaystyle \mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}({\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}})}$消失比${\displaystyle 1/{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}}$快，对半圆部分积分趋向零。因此积分只剩实轴上直线部和跳过极点的小半圆：

以上第二项留数定理的结果。重组后得到克喇末-克勒尼希关系式：

分母里的虚数${\displaystyle i}$意味者这是连系实部和虚部的公式。把${\displaystyle \mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})}$分解成实部和虚部可轻易得到更早的公式。

可以将Kramers-Kronig关系应用于响应函数理论。物理上，响应函数${\displaystyle \mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}(t-<!--\; -\; -->t^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}})}$概括系统对在时间${\displaystyle t^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}}$的作用力${\displaystyle F(t^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}})}$在另一时间${\displaystyle t}$的反应${\displaystyle P(t)}$：

因为系统不能在施力前有任何反应因此当${\displaystyle t^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}>t}$，${\displaystyle \mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}(t-<!--\; -\; -->t^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}})=0}$。可以证明这因果关系意味着${\displaystyle \mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})}$的傅立叶变换${\displaystyle \mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})}$在${\displaystyle \mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}$复面上半可析。另外如果我们施加系统一个远高于它最高共振频率的高频作用力，此时作用力转换太快而系统不能即时做出反应，因此${\displaystyle \mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}$很大时，${\displaystyle \mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})}$会趋近于0。从这些物理考量，可知物理反应函数${\displaystyle \mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})}$通常符合克喇末-克勒尼希关系式的前提条件。

反应函数${\displaystyle \mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})}$的虚部和作用力异相。它概括系统如何消散能量。因此利用克喇末-克勒尼希关系，我们可以透过观察系统能量消耗而得到它对作用力的同相（不做功）反应，反之亦然。

上述函数的积分路径是从${\displaystyle -<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$到${\displaystyle \mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$，其中出现了负频率。幸运的是，多数系统中，正频响应决定了负频响应，这是因为${\displaystyle \mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})}$是实数变量${\displaystyle \mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}(t-<!--\; -\; -->t^{\prime })}$的傅里叶变换，根据对实数进行傅里叶变换的性质，${\displaystyle \mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}(-<!--\; -\; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})={\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}^{\ast <!--\; \ast \; -->}(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})}$，${\displaystyle {\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_1(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})}$是频率${\displaystyle \mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}$的偶函数，而${\displaystyle {\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_2(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})}$是${\displaystyle \mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}$的奇函数。

根据该性质，积分可以从正负无穷区间约化为${\displaystyle [0,\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->})}$的区间上。考虑实部${\displaystyle {\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_1(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})}$的第一个关系，积分函数上下同乘${\displaystyle {\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^{\prime }+\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}$可得：

由于${\displaystyle {\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_2(\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})}$为奇函数，第二项为零，剩下的部分为

类似的推导亦可用于虚部：

该 Kramers-Kronig 关系在物理响应函数上的很有用处。