微分几何

微分几何研究微分流形的几何性质，是现代数学中一主流；是广义相对论的基础，与拓扑学、代数几何及理论物理关系密切。古典微分几何起源于微积分，主要内容为曲线论和曲面论。欧拉、蒙日和高斯被公认为古典微分几何的奠基人。近代微分几何的创始人是黎曼，他在1854年创立了黎曼几何（实际上黎曼提出的是芬斯勒几何），这成为近代微分几何的主要内容，并在相对论有极为重要的作用。埃利·嘉当和陈省身等人曾在微分几何领域做出极为杰出的贡献。从一开始到19世纪中叶，微分几何是从外在观点来进行研究的：曲线和曲面是被放在更高维度的欧几里得空间中来考虑的（譬如曲面被放在三维的背景空间中）。其中的最简单的成果就是曲线微分几何中的结果。内在观点开始于黎曼的工作，在那里因为几何对象被认为是独立的给出的，所以不能说移到外面来考虑这个对象。内在的观点更加灵活，例如在相对论中时空不能很自然的用外在形式表示。但用内在的观点，曲率和联络这样的结构比较难定义一些，所以采用内在的观点也不是没有代价的。这两种观点也是可以融通的，即外在几何可以被看作是附加于内在几何上的结构。（见纳什嵌入定理）微分几何的工具也就是流形上的微积分：包括对于流形，切丛，余切丛，微分形式，外微分， p {displaystyle p} -形式在 p {displaystyle p} 维子流形上的积分以及斯托克斯定理，楔积，和李导数的研究。这些都和多变量微积分相关；但对于几何上的应用来讲，必须发展一种在某种意义上和特定坐标系无关的方法。微分几何的特殊概念可以说是那些体现几何本质的二阶导数：曲率的很多表现方式。可微流形是一个拓扑空间，它有一个开覆盖，其中的每个开集同胚于 R n {displaystyle R^{n}} 中的一个开单位球。并且，如果 f {displaystyle f} , g {displaystyle g} 是其中两个同胚映射，则函数 f − 1 ∘ g {displaystyle f^{-1}circ g} 无限可微。我们称一个函数无限可微，如果它和每个同胚的复合是从开球到 R {displaystyle R} 的无限可微函数。在流形的每一点，有一个该点的切空间，它由每个从该点离开进行运动的所有可能的速度（方向和大小）所组成。对一个n维流形，每点的切空间是一个n维向量空间，或者说是一个Rn。切空间有多种定义。其中一个是作为所有在该点取值为0的函数组成的线性空间的对偶空间，除以 所有取值为0并且一阶导数为0的函数空间（所得到的余空间）。导数为0可以定义为“和任何可微的从实数到该流形的函数的复合的导数为0”，因而只需要用到可微性。向量场是从流形到它的切空间的并集（切丛）的函数，在每一点所取的值是该点的切空间的一个元素。这样的映射称为纤维丛的截面。 向量场可微，如果该向量场应用到每个可微函数都得到一个可微函数。向量场可以看作是时不变的微分方程组。从实数到流形的可微函数是流形上的曲线。这给了一个从实数到切空间的函数：曲线上每点的速度。一条曲线称为一个向量场的一个解，如果曲线每点的速度和向量场在该点的值相等。交错k维线性形式是向量空间V的对偶空间V*的反对称k阶向量积的一个元素。k微分形式就是在流形的每一点选取一个这样的交错k形式--V在这里就是该点的切空间。如果它作用在k个可微向量场上的结果是流形上的一个可微函数，则称它可微。体积形式是维数和流形相同的微分形式。黎曼几何以黎曼流形为主要研究对象— 有额外结构的光滑流形，他们因此无穷小得看起来像欧几里得空间。这使得欧几里得几何的诸如函数的梯度，散度，曲线的长度等概念得到了推广；而无须假设空间整体上有这么对称。研究的对象是复流形。这是一类有着可积的近复结构的微分流形。因为非奇异的复代数簇自然的是复流形，因此与复代数几何有着紧密的联系。这是研究辛流形的学科。一个辛流形是带有辛形式（也就是，一个闭的非退化2-形式）的微分流形。这是辛几何在奇数维上的对应物。大致来说，在(2n+1)微流形上的切触结构是一个1-形式 α {displaystyle alpha } 使得 α ∧ ( d α ) n {displaystyle alpha wedge (dalpha )^{n}} 处处非退化。芬斯勒几何以芬斯勒流形为主要研究对象— 这是一个有芬斯勒度量的微分流形，也就是切空间被赋予了巴拿赫范数。芬斯勒度量是比黎曼度量一般得多的结构。