拉格朗日定理 (群论)

✍ dations ◷ 2025-08-22 11:50:55 #群论,数学定理,有限群

拉格朗日定理是群论的定理，利用陪集证明了子群的阶一定是有限群的阶的约数值。

叙述：设H是有限群G的子群，则H的阶整除G的阶。

定理的证明是运用H在G中的左陪集。H在G中的每个左陪集都是一个等价类。将G作左陪集分解，由于每个等价类的元素个数都相等，都等于H的元素个数（H是H关于e的左陪集），因此H的阶（元素个数）整除G的阶，商是H在G中的左陪集个数，叫做H对G的指数，记作。

定义二元关系 $\sim$ / 存在，那么它的阶等于H对G的指数。

${\displaystyle \left|G\right|=\left\cdot \left|H\right|{\mbox{,}}}$ 和一个整除的阶的整数，并不一定有阶数为的子群。最简单的例子是4次交替群₄，它的阶是12，但对于12的因数6，₄没有6阶的子群。对于这样的子群的存在性，柯西定理和西洛定理给出了一个部分的回答。

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