拉格朗日定理 (群论)

✍ dations ◷ 2025-06-09 16:33:29 #群论,数学定理,有限群

拉格朗日定理是群论的定理,利用陪集证明了子群的阶一定是有限群的阶的约数值。

叙述:设H是有限群G的子群,则H的阶整除G的阶。

定理的证明是运用H在G中的左陪集。H在G中的每个左陪集都是一个等价类。将G作左陪集分解,由于每个等价类的元素个数都相等,都等于H的元素个数(H是H关于e的左陪集),因此H的阶(元素个数)整除G的阶,商是H在G中的左陪集个数,叫做H对G的指数,记作。

定义二元关系 {\displaystyle \sim } / 存在,那么它的阶等于H对G的指数。

| G | = | H | , {\displaystyle {\displaystyle \left|G\right|=\left\cdot \left|H\right|{\mbox{,}}}} 和一个整除的阶的整数,并不一定有阶数为 的子群。最简单的例子是4次交替群4,它的阶是12,但对于12的因数6,4没有6阶的子群。对于这样的子群的存在性,柯西定理和西洛定理给出了一个部分的回答。

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