森田等价

在抽象代数中，森田等价（Morita equivalence）是定义在环之间的一个等价关系，这个等价保持许多环论性质。以日本数学家森田纪一（英语：Kiiti Morita）命名，他在1958年定义了这个等价关系以及对偶性的一个类似概念。

通常通过研究环上的模来研究环本身，因为模可以看成环的表示。每个环有自然的在自己上的 R-模结构，其模作用定义为环中的乘法，所以通过模的进路更一般，能给出有用的信息。因此，我们经常通过研究环上的模范畴来研究环。

森田等价便采取这种观点，自然地定义环等价如果它们的模范畴是等价的。

两个环 与 称为森田等价如果 上的（左）模范畴 与 上的（左）模范畴 之间存在一个加性等价。

可以证明左模范畴等价当且仅当右模范畴是等价的。

等价可以刻画为：如果 F:_R ${\displaystyle \to <!--\; \to \; -->}$ 与 :_S ${\displaystyle \to <!--\; \to \; -->}$ 是加性（共变）函子，则 与 是等价的当且仅当存在一个平衡的 (,)-双模 使得 _S 与 _R 是有限生成投射生成元与自然同构 ${\displaystyle F\cong <!--\; \cong \; -->(P{\otimes <!--\; \otimes \; -->}_R-<!--\; -\; -->)}$ 与 是等价的环，那么

当且仅当 满足相应的性质。另外，我们有 Cen() 同构于 Cen()，这里 Cen 表示环的中心，以及 / 等价于 /，这里 表示雅各布森根。

但是，森田等价不是同构。可以找到不同构但为森田等价的两个环，不过极其困难。森田等价蕴含同构的一个重要特例是交换环的情形。

对任何 ${\displaystyle n>0}$ 的全矩阵环 _n() 等价于 。注意这推广了由 Artin-Wedderburn 定理给出的单阿廷环的分类。为了看出这个等价，注意到如果 ${\displaystyle M}$-模则 ${\displaystyle M^n}$-模到左 ${\displaystyle M_n(R)}$-模 以及一个正整数 ，使得这个 ${\displaystyle M_n(R)}$ 通过上述方式得到的。

对任何从左 -模范畴到左 -模范畴的与直和交换的右正合函子 ，同调代数的一个定理指出存在一个 -双模 使得 自然等价于 ${\displaystyle E{\otimes <!--\; \otimes \; -->}_R-<!--\; -\; -->}$ 与 森田等价等且仅当存在双模 与 使得 ${\displaystyle M\otimes <!--\; \otimes \; -->N\cong <!--\; \cong \; -->R}$ 以及 ${\displaystyle N\otimes <!--\; \otimes \; -->M\cong <!--\; \cong \; -->S}$。此外，${\displaystyle N\cong <!--\; \cong \; -->\mathrm{Hom}<!--\; \; -->(M,S)}$。

与等价理论相对的是模范畴之间的对偶性理论，这时函子是反变的而不是共变的。这个理论，虽然形式上类似，但是却显著的不同，因为没有在任何环上的模范畴之间的对偶性，尽管可能对子范畴有对偶性存在。换句话说，因为无限维模一般不是自反的，对偶性理论更容易应用到诺特环上有限生成代数。也许不奇怪，上面的判据关于对偶性有一个类比，此时自然同构由 Hom 函子而不是张量函子给出。

森田等价也能对更复杂的结构定义，比如辛群胚与 C*-代数。在 C*-代数情形，需要一种更强的等价关系，称为强森田等价，因为额外的结构得到的结果在应用中非常有用。

如果两个环是森田等价的，则在相应的投射模范畴有一个诱导等价，这是因为森田等价保持正合序列（从而保持投射模）。因为一个环的代数 K-理论用环上的投射模范畴的神经的分类空间的同伦群定义（Quillen 进路），森田等价的环一定有同构的 K-群。