值域

在数学中，函数的值域（英语：Range）是由定义域中一切元素所能产生的所有函数值的集合。有时候也称为函数的像。给定函数 f : A → B {displaystyle f:Arightarrow B} ，集合 f ( A ) {displaystyle f(A)} 被称为是 f {displaystyle f} 的值域，记为 R f {displaystyle R_{f}} 。值域不应跟陪域 B {displaystyle B} 相混淆。一般来说，值域只是陪域的一个子集。假设函数 f {displaystyle f} 为定义在实数上的函数：定义为f {displaystyle f} 的陪域为 R {displaystyle mathbb {R} } ，但明显地 f ( x ) {displaystyle f(x)} 不会取到负数值，因此，事实上值域只是非负实数集合 R + ∪ { 0 } {displaystyle mathbb {R} ^{+}cup {0}} ，即区间 [ 0 , ∞ ) {displaystyle [0,infty )} ：求函数值域，尤其是复合函数的值域时，首先要对基本的初等函数的定义域和值域充分了解，其次要灵活运用基本不等式。初等函数的值域求法一般为：例如： y = 3 − x {displaystyle y=3-{sqrt {x}}}由 x ≥ 0 {displaystyle {sqrt {x}}geq 0}⇒ − x ≤ 0 {displaystyle Rightarrow -{sqrt {x}}leq 0}所以值域为 ( − ∞ , 3 ] {displaystyle (-infty ,3]} 。先求得所要计算的函数的反函数，则反函数的定义域即为原函数的值域。例如： y = x 3 {displaystyle y={sqrt{x}}}它的反函数为 x = y 3 {displaystyle x=y^{3}}反函数的定义域为： ( − ∞ , + ∞ ) {displaystyle (-infty ,+infty )}则原函数 y = x 3 {displaystyle y={sqrt{x}}} 的值域为： ( − ∞ , + ∞ ) {displaystyle (-infty ,+infty )}画出连续函数的图像，则函数图像纵轴的最小值和最大值（若有）组成的区间即为函数的值域。