交换律

交换律(Commutative property)是被普遍使用的一个数学名词，意指能改变某物的顺序而不改变其最终结果。交换律是大多数数学分支中的基本性质，而且许多的数学证明需要倚靠交换律。简单运算的交换律许久都被假定存在，且没有给定其一特定的名称，直到19世纪，数学家开始形式化数学理论之后，交换律才被声明。

交换律是一个和二元运算及函数有关的性质。而若交换律对一特定二元运算下的一对元素成立，则称这两个元素为在此运算下是“可交换”的。

在群论和集合论中，许多的代数结构被称做是可交换的，若其中的运算域满足交换律。在数学分析和线性代数中，一些知名的运算（如实数及复数上的加法和乘法）的交换律会经常被用于（或假定存在于）证明之中。

“可交换”一词被使用于如下几个相关的概念中：

1. 在集合 ${\displaystyle S}$ 的一二元运算 ${\displaystyle \ast <!--\; \ast \; -->}$ 被称之为“可交换”的，若：

2. 若称 ${\displaystyle x}$ 在 ${\displaystyle \ast <!--\; \ast \; -->}$ 下和 ${\displaystyle y}$ “可交换”，即表示：

3. 一二元函数${\displaystyle f:A\times <!--\; \times \; -->A\to <!--\; \to \; -->B}$被称之为“可交换”的，若：

对交换律假定存在的应用早在很久之前便已有所记戴。埃及人用乘法的交换律来简化乘积的计算。且知欧几里得在《几何原本》中已有假定了乘法交换律的存在。对交换律形式上的应用产生于18世纪末19世纪初，那时数学家开始在研究函数的理论。今日，交换律已被普遍认知，且在大多数的数学分支中被当做基本性质来使用。交换律的简易版本通常会在初等数学教程中被教导。

第一个使用“可交换（commutative）”一词的是 Francois Servois 于1814年写下的笔记，这一词在笔记中被用来指有着现在称之为交换律的函数。这一词首次出现于英语中的是在1844年的英国皇家学会哲学汇刊中。

结合律和交换律密切相关着。结合律是指运算的顺序并不会影响其最终结果。相对地，交换律则是指算子的顺序不会影响其最终结果的性质。

对称可以和交换律有直接的关连。若将一个可交换运算子写成一个二元函数，则此一函数会对 ${\displaystyle y=x}$ 这条线对称。举例来说，若设一函数 ${\displaystyle f}$ 来表示加法（一可交换运算），所以 ${\displaystyle f(x,y)=x+y}$ ，也因此 ${\displaystyle f}$ 会是个如右图所见的对称函数。

两个广为人知的可交换二元运算的例子为：

一些不可交换二元运算有：