算术基本定理

算术基本定理，又称为正整数的唯一分解定理，即：每个大于1的自然数，要么本身就是质数，要么可以写为2个或以上的质数的积，而且这些质因子按大小排列之后，写法仅有一种方式。

例如:${\displaystyle 6936=2^3\times <!--\; \times \; -->3\times <!--\; \times \; -->{17}^2}$整除。所以${\displaystyle p|b}$ 的最小性矛盾！

因此唯一性得证。

在一般的数域中，并不存在相应的定理；事实上，在虚二次域 ${\displaystyle \mathbb{Q}(\sqrt{-<!--\; -\; -->D})(D\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N})}$ 之中，只有少数几个能满足，最大的一个 ${\displaystyle D}$ 是 ${\displaystyle D=163}$。例如，${\displaystyle 6}$可以以两种方式在 ${\displaystyle \mathbb{Z}}$ 中表成整数乘积：${\displaystyle 2\times <!--\; \times \; -->3}$ 和 ${\displaystyle (1+\sqrt{-<!--\; -\; -->5})(1-<!--\; -\; -->\sqrt{-<!--\; -\; -->5})}$。同样的，在分圆整数中一般也不存在唯一分解性，而这恰恰是人们在证明费马大定理时所遇到的陷阱之一。

欧几里得在普通整数 ${\displaystyle \mathbb{Z}}$ 中证明了算术基本定理──每个整数可唯一地分解为素数的乘积，高斯则在复整数 ${\displaystyle \mathbb{Z}}$ 中得出并证明，只要不计四个可逆元素 ${\displaystyle (\pm <!--\; \pm \; -->1,\pm <!--\; \pm \; -->i)}$ 之作用，那么这个唯一分解定理在 ${\displaystyle \mathbb{Z}}$ 也成立。高斯还指出，包括费马大定理在内的普通素数的许多定理都可能扩大到复数域。

对于二次方程：${\displaystyle a{x}^2+bx+c=0\left(a\ne <!--\; \ne \; -->0\right)}$，它的根可以表示为：${\displaystyle x_{1,2}=\frac{-<!--\; -\; -->b\pm <!--\; \pm \; -->\sqrt{b^2-<!--\; -\; -->4ac}}{2a}}$

因为负数不能开平方，${\displaystyle b^2-<!--\; -\; -->4ac}$的符号就很重要，如果为正，有两个根；如果为0，只有一个根；如果为负，没有实根。欧拉的素数公式：${\displaystyle f(x)=x^2+x+41\left(a\ne <!--\; \ne \; -->0\right)}$${\displaystyle b^2-<!--\; -\; -->4ac=1-<!--\; -\; -->164=-<!--\; -\; -->163}$两个复数解为:${\displaystyle x_{1,2}=\frac{-<!--\; -\; -->1\pm <!--\; \pm \; -->\sqrt{163}i}{2}}$

${\displaystyle a+b\sqrt[]{-<!--\; -\; -->d}}$哪个${\displaystyle d}$值可以得到唯一分解定理？${\displaystyle d=1,2,3}$皆可得到定理，但当${\displaystyle d=5}$时不能。因为在这个数系中6这个数有两种形式的因子分解（分解至不可分约的情形）。${\displaystyle 6=2\times <!--\; \times \; -->3}$；${\displaystyle 6=(1+\sqrt{-<!--\; -\; -->5})(1-<!--\; -\; -->\sqrt{-<!--\; -\; -->5})}$。在高斯时代，已知有9个${\displaystyle d}$使得${\displaystyle a+b\sqrt[]{-<!--\; -\; -->d}}$所产生的数有唯一因子分解（${\displaystyle a}$，${\displaystyle b}$如上面指出那样取值）。${\displaystyle d=1,2,3,7,11,19,43,67,163}$高斯认为${\displaystyle d}$的数量不会超过10个，但是没有人能够证明。1952年，业余数学家，退休的瑞士工程师库尔特·黑格纳（英语：Kurt Heegner）（Kurt Heegner）发表了他的证明，声称第10个高斯类数不存在。但是没有人相信他。世界又等待了15年之后才知道这个定理：麻省理工学院的斯塔克（Harold Stark）和剑桥大学的阿兰贝克（AlanBaker）独立用不同方法证明了第10个${\displaystyle d}$值不存在。两个人重新检查了希格内尔的工作，发现他的证明是正确的。为了纪念长期被忽视的希格内尔，上述的9个数被称为黑格纳数，一些曲线上的点被命名为希格内尔点。参见《数学新的黄金时代》和其它数学书籍。