坎宁安函数

坎宁安函数又称为皮尔逊-坎宁安函数（Pearson-Cunningham function)是英国数学家坎宁安在1908年首先研究的特殊函数,，定义如下：

其中U为特里科米函数。

坎宁安在是在用多变数扩展的埃奇沃斯级数，依几率密度函数的矩来近似几率密度函数时用到坎宁安函数，坎宁安函数和一维或多维常系数的扩散方程有关

坎宁安函数是下列微分方程的解

${\displaystyle +\frac{exp(-<!--\; -\; -->x+(1/2\ast <!--\; \ast \; -->I)\ast <!--\; \ast \; -->Pi\ast <!--\; \ast \; -->m-<!--\; -\; -->I\ast <!--\; \ast \; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\ast <!--\; \ast \; -->n)\ast <!--\; \ast \; -->\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(-<!--\; -\; -->m)\ast <!--\; \ast \; -->HeunB(2\ast <!--\; \ast \; -->m,0,2+4\ast <!--\; \ast \; -->n,0,\sqrt{(}x))}{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(1+n-<!--\; -\; -->(1/2)\ast <!--\; \ast \; -->m)\ast <!--\; \ast \; -->\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(-<!--\; -\; -->(1/2)\ast <!--\; \ast \; -->m-<!--\; -\; -->n)}}$

${\displaystyle {\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_{0.5,0.5}(x)=(1/80640)\ast <!--\; \ast \; -->(120960\ast <!--\; \ast \; -->\sqrt{(}2)\ast <!--\; \ast \; -->\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(3/4{)}^2\ast <!--\; \ast \; -->\sqrt{(}x)-<!--\; -\; -->141120\ast <!--\; \ast \; -->\sqrt{(}2)\ast <!--\; \ast \; -->\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(3/4{)}^2\ast <!--\; \ast \; -->x^{(}3/2)+77616\ast <!--\; \ast \; -->\sqrt{(}2)\ast <!--\; \ast \; -->\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(3/4{)}^2\ast <!--\; \ast \; -->x^{(}5/2)-<!--\; -\; -->27720\ast <!--\; \ast \; -->\sqrt{(}2)\ast <!--\; \ast \; -->\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(3/4{)}^2\ast <!--\; \ast \; -->x^{(}7/2)+7315\ast <!--\; \ast \; -->\sqrt{(}2)\ast <!--\; \ast \; -->\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(3/4{)}^2\ast <!--\; \ast \; -->x^{(}9/2)+(141120\ast <!--\; \ast \; -->I)\ast <!--\; \ast \; -->\sqrt{(}2)\ast <!--\; \ast \; -->\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(3/4{)}^2\ast <!--\; \ast \; -->x^{(}3/2)+(27720\ast <!--\; \ast \; -->I)\ast <!--\; \ast \; -->\sqrt{(}2)\ast <!--\; \ast \; -->\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(3/4{)}^2\ast <!--\; \ast \; -->x^{(}7/2)-<!--\; -\; -->(100800\ast <!--\; \ast \; -->I)\ast <!--\; \ast \; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\ast <!--\; \ast \; -->x-<!--\; -\; -->(7315\ast <!--\; \ast \; -->I)\ast <!--\; \ast \; -->\sqrt{(}2)\ast <!--\; \ast \; -->\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(3/4{)}^2\ast <!--\; \ast \; -->x^{(}9/2)-<!--\; -\; -->(77616\ast <!--\; \ast \; -->I)\ast <!--\; \ast \; -->\sqrt{(}2)\ast <!--\; \ast \; -->\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(3/4{)}^2\ast <!--\; \ast \; -->x^{(}5/2)-<!--\; -\; -->40320\ast <!--\; \ast \; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}+(75600\ast <!--\; \ast \; -->I)\ast <!--\; \ast \; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\ast <!--\; \ast \; -->x^2+100800\ast <!--\; \ast \; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\ast <!--\; \ast \; -->x+(40320\ast <!--\; \ast \; -->I)\ast <!--\; \ast \; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}-<!--\; -\; -->75600\ast <!--\; \ast \; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\ast <!--\; \ast \; -->x^2-<!--\; -\; -->(120960\ast <!--\; \ast \; -->I)\ast <!--\; \ast \; -->\sqrt{(}2)\ast <!--\; \ast \; -->\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(3/4{)}^2\ast <!--\; \ast \; -->\sqrt{(}x)+32760\ast <!--\; \ast \; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\ast <!--\; \ast \; -->x^3-<!--\; -\; -->(32760\ast <!--\; \ast \; -->I)\ast <!--\; \ast \; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\ast <!--\; \ast \; -->x^3-<!--\; -\; -->9945\ast <!--\; \ast \; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\ast <!--\; \ast \; -->x^4+(9945\ast <!--\; \ast \; -->I)\ast <!--\; \ast \; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\ast <!--\; \ast \; -->x^4+80640\ast <!--\; \ast \; -->{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^{(}3/2)\ast <!--\; \ast \; -->O(x^{(}9/2))\ast <!--\; \ast \; -->\sqrt{(}x))/({\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^{(}3/2)\ast <!--\; \ast \; -->\sqrt{(}x))}$