双二阶滤波器

双二阶滤波器的传递函数有如下的形式

${\displaystyle G(s)=\frac{p_2\ast <!--\; \ast \; -->s^2+p_1\ast <!--\; \ast \; -->s+p_0}{s^2+e_1\ast <!--\; \ast \; -->s+e_0}}$

或

${\displaystyle G(s)=\frac{p_2\ast <!--\; \ast \; -->s^2+p_1\ast <!--\; \ast \; -->s+p_0}{s^2+\frac{{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_0}{Q}\ast <!--\; \ast \; -->s+{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_0^2}}$

分子二项式中系数${\displaystyle p_2}$,${\displaystyle p_1}$决定滤波器的类型：

${\displaystyle G(s)=\frac{p_0}{s^2+\frac{{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_0}{Q}\ast <!--\; \ast \; -->s+{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_0^2}}$

其衰减函数为\。

${\displaystyle A(\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->})=G(j\ast <!--\; \ast \; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})\ast <!--\; \ast \; -->G(-<!--\; -\; -->j\ast <!--\; \ast \; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})=\frac{Q^2}{({\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}^4\ast <!--\; \ast \; -->Q^2-<!--\; -\; -->2\ast <!--\; \ast \; -->{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}^2\ast <!--\; \ast \; -->Q^2+{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}^2+Q^2)}}$

其中${\displaystyle \mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}=\frac{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}{{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_0}}$

无源双二阶低通滤波器

有源双二阶带通、低通滤波器电路

对于不同的Q值，二阶低通滤波器的衰减函数曲线

双二阶低通滤波器的相角

无源双二阶低通滤波器由电阻、电容和电感元件组成

${\displaystyle p_0=\frac{1}{LC}}$

${\displaystyle {\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_0=\sqrt{\frac{1}{LC}}}$

${\displaystyle Q=R\ast <!--\; \ast \; -->\sqrt{C/L}}$

有源双二阶低通滤波器由运算放大器、电容、电感和电阻构成。

双二阶高通滤波器的传递函数为

${\displaystyle G(s)=\frac{s^2}{s^2+\frac{{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_0}{Q}\ast <!--\; \ast \; -->s+{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_0^2}}$

双二阶高通滤波片的频率响应：

${\displaystyle A(\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->})=\frac{-<!--\; -\; -->Q^2\ast <!--\; \ast \; -->{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}^4}{({\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}^4\ast <!--\; \ast \; -->Q^2-<!--\; -\; -->2\ast <!--\; \ast \; -->{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}^2\ast <!--\; \ast \; -->Q^2+{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}^2+Q^2)}}$

无源双二阶高通滤波器

双二阶高通滤波器响应图

双二阶高通滤波器的相角

${\displaystyle p_2=1}$

${\displaystyle \mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}=\frac{1}{\sqrt{LC}}}$

${\displaystyle Q=R\ast <!--\; \ast \; -->\sqrt{C/L}}$

双二阶带通滤波器的传递函数为。

${\displaystyle G(s)=\frac{p_1\ast <!--\; \ast \; -->s}{s^2+\frac{{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_0}{Q}\ast <!--\; \ast \; -->s+{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_0^2}}$

${\displaystyle A(\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->})=\frac{{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}^2\ast <!--\; \ast \; -->Q^2}{({\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}^4\ast <!--\; \ast \; -->Q^2-<!--\; -\; -->2\ast <!--\; \ast \; -->{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}^2\ast <!--\; \ast \; -->Q^2+{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}^2+Q^2)}}$

相角：

${\displaystyle \mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}:=90-<!--\; -\; -->180\ast <!--\; \ast \; -->arctan(\frac{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}\ast <!--\; \ast \; -->{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_0}{(Q\ast <!--\; \ast \; -->({\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_0^2-<!--\; -\; -->{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2)})/\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}$

双二阶无源带通滤波器

双二阶带通滤波器的零点和极点

双二阶带通滤波器频率响应

双二阶带通滤波器的相角

${\displaystyle p_1=\frac{1}{CR}}$

${\displaystyle \mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}=\frac{1}{\sqrt{LC}}}$

${\displaystyle Q=R\ast <!--\; \ast \; -->\sqrt{C/L}}$

双二阶带阻滤波器的传递函数为<refnname=rs>Rolf Schaumann,H.Xiao,M.E.van Valkenburg, p225</ref>

${\displaystyle G(s)=\frac{p_2\ast <!--\; \ast \; -->s^2+p_0}{s^2+\frac{{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_0}{Q}\ast <!--\; \ast \; -->s+{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_0^2}}$

其频率响应

${\displaystyle A(\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->})=\frac{Q^2\ast <!--\; \ast \; -->({\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}^4-<!--\; -\; -->2\ast <!--\; \ast \; -->{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}^2+1)}{({\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}^4\ast <!--\; \ast \; -->Q^2-<!--\; -\; -->2\ast <!--\; \ast \; -->{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}^2\ast <!--\; \ast \; -->Q^2+{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}^2+Q^2)}}$

相角：

${\displaystyle theta:=180\ast <!--\; \ast \; -->arctan(\frac{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}{(Q\ast <!--\; \ast \; -->({\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}^2-<!--\; -\; -->1)})/\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}$

无源双二阶带阻滤波器

双二阶带阻滤波器的频率响应

双二阶带阻滤波器的相角

${\displaystyle p_2=1}$

${\displaystyle \mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}=\frac{1}{\sqrt{LC}}}$

${\displaystyle Q=R\ast <!--\; \ast \; -->\sqrt{C/L}}$