非线性回归

在统计学中， 非线性回归是回归分析的一种形式，其中观测数据由函数建模，该函数是模型参数的非线性组合并且取决于一个或多个独立变量。 通过逐次逼近的方法拟合数据。在非线性回归中，形式的统计模型 ，关联自变量 x的向量及其相关的观察到的因变量 y 。函数f在参数β的矢量的分量中是非线性的，但在其他方面是任意的。例如，酶动力学的米-门二氏动力学模型有两个参数和一个独立变量，由f相关：此函数是非线性的，因为它不能表示为两个 β {displaystyle beta } 的线性组合。系统误差可能存在于自变量中，但其处理不在回归分析的范围内。 如果自变量不是无差错的，那么这是一个变量误差模型 ，也在此范围之外。非线性函数的其他示例包括指数函数 ， 对数函数 ， 三角函数 ， 幂函数 ， 高斯函数和洛伦兹曲线 。 某些函数（如指数函数或对数函数）可以进行转换，以使它们是线性的。 如此转换，可以执行标准线性回归，但必须谨慎应用。 有关详细信息，请参阅下面的线性化§Transformation 。通常，对于最佳拟合参数，没有闭合形式表达式，如线性回归 中所示。 通常应用数值优化算法来确定最佳拟合参数。 与线性回归相比，可能存在要优化的函数的许多局部最小值 ，甚至全局最小值也可能产生偏差估计。 在实践中，结合优化算法使用参数的估计值来尝试找到平方和的全局最小值。这个过程的基本假设是模型可以用线性函数近似，即一阶泰勒级数 ：其中 J i j = ∂ f ( x i , β ) ∂ β j {displaystyle J_{ij}={frac {partial f(x_{i},{boldsymbol {beta }})}{partial beta _{j}}}} ,由此得出最小二乘估计量由下式给出 .计算非线性回归统计量并将其用作线性回归统计量，但在公式中使用J代替X. 线性近似将偏差引入统计中。 因此，在解释从非线性模型得到的统计数据时，需要比平常更多的谨慎。最佳拟合曲线通常假定应该看起来平方的总和最小化残差 。 这是普通的最小二乘 （OLS）方法。 然而，在因变量不具有恒定方差的情况下，可以最小化加权平方残差的总和;看加权最小二乘法 。 理想情况下，每个权重应等于观察方差的倒数，但是在迭代加权最小二乘算法中，可以在每次迭代时重新计算权重。通过模型公式的适当变换，可以将一些非线性回归问题移动到线性域。例如，考虑非线性回归问题带有参数a和b以及乘法误差项U.如果我们采用双方的对数，那就变成了其中u = ln（ U ），建议通过x上的ln（ y ）的线性回归估计未知参数，该计算不需要迭代优化。 但是，使用非线性变换需要谨慎。 数据值的影响将发生变化，模型的误差结构和任何推论结果的解释也将发生变化。 这些可能不是期望的效果。 另一方面，取决于最大误差源是什么，非线性变换可以以高斯方式分布误差，因此必须通过建模考虑来选择执行非线性变换。对于米-门二氏动力学 ，线性双倒数图1 / v对1 / 已被大量使用。 但是，由于它对数据错误非常敏感，并且强烈偏向于将数据拟合到自变量的特定范围内，因此强烈建议不要使用它。对于属于指数族的误差分布，可以使用链接函数来变换广义线性模型框架下的参数。独立或解释变量 （比如X）可以分成类或段，并且可以对每个段执行线性回归 。 具有置信度分析的分段回归可以产生依赖或响应变量 （假设Y）在各个段中表现不同的结果。该图显示土壤盐度 （X）最初对芥菜的作物产量 （Y）没有影响，直到临界 值或阈值（ 断点 ），之后产量受到负面影响。