自由对象

在数学中，自由对象是抽象代数中的基本概念。就其通于各种代数结构（带有限操作）而言，它也属泛代数的一支，例子包括自由群、张量代数与自由格。在范畴论的框架下，可以将自由对象推广为自由函子，这是遗忘函子的左伴随函子。

范畴论为自由对象提供了普遍框架。考虑一种代数结构（如群、模等等）的范畴${\displaystyle \mathcal{C}}$。其上具有一个遗忘函子${\displaystyle U:\mathcal{C}\to <!--\; \to \; -->\mathbf{S}\mathbf{e}\mathbf{t}}$，此函子将一个对象映至其下的集合；换言之，此函子“遗忘”所有代数操作。

若${\displaystyle U}$有左伴随函子${\displaystyle F:\mathbf{S}\mathbf{e}\mathbf{t}\to <!--\; \to \; -->\mathcal{C}}$，则称之为${\displaystyle \mathcal{C}}$的自由函子。${\displaystyle F(X)}$可以设想为由集合${\displaystyle X}$生成的自由对象，此时也有映射${\displaystyle X\to <!--\; \to \; -->F(X)}$（在此滥用了符号：其实${\displaystyle F(X)}$是个代数结构，而${\displaystyle X}$却是集合），此映射可理解为从生成元到自由对象的包含映射。

对于更一般的遗忘函子，也能考虑相应的自由函子，例如从${\displaystyle k}$-向量空间映至其张量代数的函子，便是从${\displaystyle k}$-代数映至${\displaystyle k}$-向量空间的遗忘函子之左伴随函子。在此意义下，张量代数有时也称为自由代数。